等比数列の一般項とは？求め方や公式をわかりやすく解説（等差数列との違い・計算方法・数学・高校数学など）

等比数列の定義

数列 {aₙ} が等比数列 ⟺ 隣り合う項の比が一定

すなわち a_{n+1} / aₙ = r（一定）（ただし aₙ ≠ 0）

または a_{n+1} = r・aₙ という漸化式で定義されることもある。

公比 r = 第(n+1)項 / 第n項（どの隣接する2項でも同じ値）

例：2, 6, 18, 54, 162, …

→ 各項は前の項の3倍になっている → 公比 r = 3

等比数列の一般項の公式（最重要）

aₙ = a₁ × r^(n−1)

a₁：初項（第1項の値）

r：公比（隣り合う項の比）

n：第n項（nは自然数）

公式の導出：

a₁ → a₂ = a₁r → a₃ = a₁r² → a₄ = a₁r³ → … → aₙ = a₁r^(n−1)

第n項は初項にrを(n−1)回掛けた値。

パターン1の解法例

初項3、公比2の等比数列の一般項を求めよ。

解：公式 aₙ = a₁ × r^(n−1) に代入

aₙ = 3 × 2^(n−1)

確認：a₁ = 3×2⁰ = 3✓、a₂ = 3×2¹ = 6、a₃ = 3×2² = 12、…

パターン2の解法例

第2項が6、第4項が54である等比数列の一般項を求めよ。

解：

a₂ = a₁ × r¹ = 6 ···①

a₄ = a₁ × r³ = 54 ···②

② ÷ ① より r² = 54/6 = 9 → r = ±3

①より a₁ = 6/r

r = 3 のとき：a₁ = 6/3 = 2 → aₙ = 2 × 3^(n−1)

r = −3 のとき：a₁ = 6/(−3) = −2 → aₙ = −2 × (−3)^(n−1)

（どちらも条件を満たすため、両方答える）

パターン3の解法例

a₁ = 4、a_{n+1} = (1/2)aₙ を満たす数列の一般項を求めよ。

解：この漸化式は a_{n+1}/aₙ = 1/2（公比r = 1/2）を意味する。

よって等比数列であり、一般項は

aₙ = a₁ × r^(n−1) = 4 × (1/2)^(n−1) = 4 / 2^(n−1) = 2^2 / 2^(n−1) = 2^(3−n)

または aₙ = 4 × (1/2)^(n−1) のままでも可。

等比中項の条件

a, b, c が等比数列をなす（公比が一定）

⟺ b/a = c/b（比が等しい）

⟺ b² = ac（等比中項の条件）

比較：等差中項の条件は b = (a + c)/2（算術平均）

等比中項：b = ±√(ac)（幾何平均）

例：a = 4, c = 9 のとき等比中項 b = ±√(4×9) = ±6

（b = 6 なら 4, 6, 9 は比 3/2 の等比数列）

等比数列の和の公式

初項a₁、公比r、項数nの等比数列の和Sₙ：

r ≠ 1 のとき：Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1)

r = 1 のとき：Sₙ = na₁（全項が同じなので単純にn倍）

公式の導出：

Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁r^(n−1)

rSₙ = a₁r + a₁r² + … + a₁r^(n−1) + a₁rⁿ

Sₙ − rSₙ = a₁ − a₁rⁿ

Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ)

Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)（r ≠ 1）

等比数列の和の計算例

【例1】初項2、公比3、項数5の等比数列の和

S₅ = 2(1 − 3⁵)/(1 − 3) = 2(1 − 243)/(−2) = 2×(−242)/(−2) = 242

確認：2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242 ✓

【例2】初項100、公比1/2、項数6の等比数列の和

S₆ = 100×(1 − (1/2)⁶)/(1 − 1/2) = 100×(1 − 1/64)/(1/2)

= 100 × (63/64) × 2 = 100 × 63/32 = 6300/32 = 196.875

無限等比級数の公式

|r|

（無限項の和が有限値に収束）

|r| ≥ 1 のとき：発散（無限大または振動）

例：初項1、公比1/2の無限等比級数

S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1/(1 − 1/2) = 1/(1/2) = 2

（ゼノンのパラドックスに登場する有名な級数）