剛体振り子とは？運動方程式と周期の求め方も！（物理振り子：重心：慣性モーメント：小角近似：角振動数など）

振り子の運動は古くから時計の基礎原理として知られていますが、理想的な「単純振り子（糸におもりをつけた振り子）」だけでなく、現実の工学や物理では物体自体が振れる「物理振り子（剛体振り子）」の解析が重要になります。

剛体振り子は、有限の大きさと質量分布を持つ剛体が固定点まわりに回転振動する系であり、慣性モーメントと重心位置が振動特性を決定します。

本記事では、剛体振り子の定義・運動方程式の導出・小角近似による単振動近似・固有角振動数と周期の求め方・等価単純振り子との関係まで詳しく解説していきます。

剛体振り子とは？物理振り子の本質をひとことで言えば

それではまず、剛体振り子（物理振り子）の定義と基本的な特性について解説していきます。

剛体振り子（Physical Pendulum）とは、固定された水平軸（支点）まわりに自由に回転できる状態で吊るされた剛体が、重力の作用によって振動する系です。

単純振り子が「質量のない糸＋先端の質点」という理想化モデルであるのに対して、剛体振り子は「有限の大きさと質量分布を持つ実際の棒・板・不規則形状の物体」を扱うより現実的なモデルです。

単純振り子と剛体振り子の比較

比較項目	単純振り子	剛体振り子（物理振り子）
構成	質量のない糸＋先端質点	有限サイズの剛体＋固定支点
質量分布	先端に集中	物体全体に分布
慣性モーメント	I = mL²（L：糸の長さ）	I = I_O（支点まわりの慣性モーメント）
重心の位置	先端（支点からLの位置）	物体の重心（支点から距離h）
角振動数（小角近似）	ω = √(g/L)	ω = √(Mgh/I_O)
適用例	理想的な時計の振り子・教育用モデル	実際の振り子・棒・板・人体の四肢

剛体振り子の重要なパラメータ

剛体振り子の運動特性を決める主要なパラメータは以下の3つです。

剛体振り子の主要パラメータ

① 全質量M：剛体の総質量（kg）

② 重心と支点の距離h：固定支点Oから剛体の重心Gまでの距離（m）。この距離が大きいほど重力による復元トルクが大きくなる

③ 支点まわりの慣性モーメントI_O：固定支点Oまわりの慣性モーメント（kg・m²）。平行軸の定理より I_O = I_G + Mh²（I_G：重心まわりの慣性モーメント）

剛体振り子の運動方程式の導出

続いては、剛体振り子の運動方程式の導出について確認していきます。

運動方程式を導出することで、振動の周期や固有振動数を求めるための数学的基礎が得られます。

トルクと角加速度による運動方程式の設定

剛体振り子において、支点Oまわりの回転運動の方程式を立てます。

剛体が支点Oを中心に角度θだけ傾いたとき、重力Mg（重心Gに下向き）が支点Oまわりに生じる復元トルクを計算します。

重心Gの支点Oからの距離をh、重力加速度をgとすると、重力によるトルクは「−Mgh sinθ」（負号は復元力を示す）となります。

固定点Oまわりの回転の運動方程式は以下のようになります。

剛体振り子の運動方程式

I_O・(d²θ/dt²) = −Mgh・sinθ

または

I_O・θ” = −Mgh・sinθ

I_O：支点Oまわりの慣性モーメント（I_O = I_G + Mh²）

M：剛体の全質量

g：重力加速度（≈9.8 m/s²）

h：支点から重心までの距離

θ：支点から垂直軸との角度

この方程式は非線形微分方程式（sinθを含む）であり、一般には解析的に解くことができません。

そこで「小角近似（小振幅近似）」を用いることで、解析的に解ける線形方程式に近似します。

小角近似と単振動への近似

小角近似とは、振れ角θが十分小さい場合（一般にθ＜15°程度を目安とする）に、sinθ ≈ θ（ラジアン単位）と近似することです。

小角近似の適用

sinθ ≈ θ（θが小さい場合の近似）

これを運動方程式に代入すると：

I_O・θ” = −Mgh・θ

整理すると：

θ” + (Mgh/I_O)・θ = 0

これは単振動（SHM：Simple Harmonic Motion）の標準形：θ” + ω²・θ = 0 と同じ形になる。

小角近似によって剛体振り子の運動方程式が単振動の方程式と同じ形になることで、解析的に角振動数・周期を求めることができます。

運動方程式の一般解

θ” + ω₀²・θ = 0（ω₀² = Mgh/I_O）の一般解は以下のとおりです。

剛体振り子の運動方程式の一般解（小角近似）

θ(t) = A・cos(ω₀t) + B・sin(ω₀t)

または

θ(t) = C・cos(ω₀t + φ)

A・B・C・φ：初期条件（初期角度θ₀・初期角速度ω₀_init）から決まる定数

ω₀：固有角振動数（natural angular frequency）

剛体振り子の固有角振動数と周期

続いては、剛体振り子の固有角振動数と周期の求め方について確認していきます。

これらの量は振り子の振動特性を特徴づける最も重要なパラメータです。

固有角振動数の公式

小角近似のもとで、剛体振り子の固有角振動数ω₀は以下の式で与えられます。

剛体振り子の固有角振動数と周期

固有角振動数：ω₀ = √(Mgh / I_O)

周期：T = 2π/ω₀ = 2π√(I_O / (Mgh))

振動数：f = 1/T = (1/2π)√(Mgh / I_O)

比較：単純振り子の周期 T = 2π√(L/g)（Lは糸の長さ）

剛体振り子でも、I_O/(Mh) = L_eq とおくと T = 2π√(L_eq/g) と書ける。

L_eq = I_O/(Mh) を「等価振り子長」または「換算振り子長」と呼ぶ。

この式が示すのは、剛体振り子の周期は「慣性モーメントI_Oが大きいほど長く」「重心・支点間距離hが大きいほど短く」「質量Mが大きいほど短い」という関係です。

等価単純振り子長（換算振り子長）

剛体振り子の周期は、「等価振り子長（換算振り子長）L_eq = I_O/(Mh)」を持つ単純振り子と同じ周期を持ちます。

この等価振り子長の概念を使うと、複雑な形状の剛体振り子も、等価な単純振り子として直感的に理解できます。

等価振り子長は常に重心・支点間距離hよりも長くなります（L_eq = I_O/(Mh) = (I_G + Mh²)/(Mh) = I_G/(Mh) + h ≥ h）。

代表的な形状の剛体振り子の周期

形状	支点の位置	I_O（支点まわり）	周期T
均一棒（長さL・質量M）	端	ML²/3	2π√(2L/3g)
均一棒（長さL・質量M）	端から1/4の位置	ML²/12 + M(L/4)² = 7ML²/48	2π√(7L/12g)
均一円板（半径R・質量M）	縁	3MR²/2	2π√(3R/2g)