波数ベクトルは、量子力学・固体物理・光学において非常に重要な概念です。
スカラー量である波数と異なり、波数ベクトルは大きさだけでなく方向も持ちます。
本記事では、波数ベクトル（kベクトル）の意味・方向・フェルミ波数との関係をわかりやすく解説していきます。
目次
波数ベクトルとは波の伝播方向と波数を同時に表すベクトル量である
それではまず、波数ベクトルの定義と意味について解説していきます。
波数ベクトル（k̲ベクトル）とは、波の進む方向を向き、その大きさが角波数k＝2π/λに等しいベクトル量のことです。
波数ベクトルk̲の定義：
方向：波の伝播方向（位相の進む方向）
大きさ：|k̲|＝k＝2π/λ（角波数）
1次元の場合は単純な正・負の符号で方向を表しますが、3次元では(kₓ, kᵧ, k_z)のようにベクトル成分で表します。
波数ベクトルの物理的意味
波数ベクトルは平面波の波動関数において以下のように現れます。
平面波の波動関数：ψ(r, t)＝A exp[i(k̲・r̲ − ωt)]
k̲：波数ベクトル
r̲：位置ベクトル
ω：角振動数
この式において、k̲・r̲（内積）が位相を決定し、波がどの方向に進むかをk̲の向きが表します。
量子力学における波数ベクトルと運動量
量子力学では、波数ベクトルと粒子の運動量は以下の関係で結びついています。
p̲＝ℏk̲
p̲：運動量ベクトル
ℏ：ディラック定数（h/2π）
k̲：波数ベクトル
この関係はド・ブロイの物質波の概念に基づくもので、粒子の波動性を記述する基本式です。
波数ベクトルの方向と3次元への拡張
続いては、波数ベクトルの方向と3次元空間への拡張について確認していきます。
1次元での波数ベクトル
1次元の場合、波数ベクトルは正（右向き）または負（左向き）の値を取ります。
k>0なら右方向に進む波、k
3次元での波数ベクトル
3次元空間では、波数ベクトルは3成分を持ちます。
k̲＝(kₓ, kᵧ, k_z)
|k̲|＝√(kₓ²＋kᵧ²＋k_z²)＝k＝2π/λ
結晶中の電子の波動関数を記述する際には、3次元の波数ベクトルが使われます。
波数ベクトルと分散関係
固体物理では、エネルギーE（またはω）と波数ベクトルk̲の関係を「分散関係」と呼びます。
分散関係はバンド構造として表され、固体の電子・フォノンの性質を記述する基本情報です。
フェルミ波数と波数ベクトル
続いては、フェルミ波数と波数ベクトルの関係について確認していきます。
フェルミ波数とは
フェルミ波数kFとは、絶対零度での金属中の電子が占めるエネルギー状態の最大値（フェルミエネルギー）に対応する波数のことです。
フェルミ波数は金属の電子密度nを使って以下のように求められます。
kF＝(3π²n)^(1/3)（3次元自由電子モデル）
n：電子密度（m⁻³）
フェルミ球と波数空間
3次元の波数空間において、フェルミ波数kFを半径とする球を「フェルミ球」と呼びます。
フェルミ球の内部にある全ての波数状態が電子によって占有されます。
金属の電気伝導性はフェルミ球近傍の電子の振る舞いによって決まります。
波数ベクトルの保存則
波数ベクトルの保存（結晶運動量保存）は、固体物理における光学遷移・フォノン散乱などの選択則を与えます。
光吸収・発光過程での波数ベクトルの整合条件が、半導体の直接・間接遷移の違いを生み出します。
まとめ
本記事では、波数ベクトルの定義・方向・量子力学との関係・フェルミ波数について解説しました。
波数ベクトルは波の伝播方向と大きさ（角波数）を同時に表すベクトル量で、量子力学では運動量p̲＝ℏk̲として粒子の状態を記述します。
フェルミ波数・フェルミ球の概念とともに、固体物理の理解に欠かせない重要な概念ですので、しっかり押さえておきましょう。
