等差数列の一般項の公式は？求め方や計算方法も解説（初項・公差・第n項・数学B・等比数列との違いなど）

等差数列の定義

数列 {aₙ} が等差数列 ⟺ 隣り合う項の差が一定

a_{n+1} − aₙ = d（一定の値 = 公差）

または a_{n+1} = aₙ + d という漸化式

例：3, 7, 11, 15, 19, … （各項は前の項より4大きい → 公差d = 4）

例：10, 7, 4, 1, −2, … （各項は前の項より3小さい → 公差d = −3）

等差数列の一般項の公式（最重要）

aₙ = a₁ + (n − 1)d

a₁：初項（第1項の値）

d：公差

n：項番号（nは自然数）

公式の導出：

a₁ → a₂ = a₁ + d → a₃ = a₁ + 2d → a₄ = a₁ + 3d → … → aₙ = a₁ + (n−1)d

第n項は初項にdを(n−1)回足した値。

n = 1 のとき：a₁ = a₁ + (1−1)d = a₁ ✓（公式が第1項でも成立する）

「n − 1回足す」理由の確認

a₁（初項）→d を0回足す → n = 1

a₂ = a₁ + d → dを1回足す → n = 2

a₃ = a₁ + 2d → dを2回足す → n = 3

aₙ = a₁ + (n−1)d → dを(n−1)回足す → n = n

「n番目」に到達するには「n − 1回」の操作が必要。

（「初項から第n項まで」の間には n − 1 個の”ギャップ”がある）

パターン1の解法例

初項5、公差3の等差数列の一般項と第10項を求めよ。

解：aₙ = 5 + (n − 1) × 3 = 5 + 3n − 3 = 3n + 2

第10項：a₁₀ = 3 × 10 + 2 = 32

確認：5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32 → 第10項 = 32 ✓

整理のポイント：aₙ = a₁ + (n−1)d を展開して「an + b」の形に整理する。

パターン2の解法例

第3項が11、第7項が23である等差数列の一般項を求めよ。

解：aₙ = a₁ + (n−1)d を使って

a₃ = a₁ + 2d = 11 ···①

a₇ = a₁ + 6d = 23 ···②

② − ① より：4d = 12 → d = 3

①に代入：a₁ = 11 − 2×3 = 5

よって aₙ = 5 + (n−1)×3 = 3n + 2

パターン3の解法例

等差数列 2, 5, 8, 11, … において、95は第何項か。

解：a₁ = 2、d = 3 なので aₙ = 2 + (n−1)×3 = 3n − 1

3n − 1 = 95 → 3n = 96 → n = 32

よって95は第32項。

確認：a₃₂ = 3×32 − 1 = 96 − 1 = 95 ✓

等差数列の和の公式（2種類）

公式1（初項・公差・項数を使う）：

Sₙ = (n/2){2a₁ + (n−1)d}

公式2（初項・末項・項数を使う）：

Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)

（末項 aₙ = a₁ + (n−1)d が分かっているとき便利）

導出（ガウスの方法）：

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ

Sₙ = aₙ + a_{n−1} + … + a₁（逆順）

加えると：2Sₙ = n(a₁ + aₙ) → Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

等差数列の和の計算例

【例1】初項2、公差3、第20項までの和

Sₙ = (20/2){2×2 + (20−1)×3} = 10 × {4 + 57} = 10 × 61 = 610

【例2】1から100までの自然数の和（初項1・公差1・末項100）

S₁₀₀ = 100 × (1 + 100)/2 = 100 × 101/2 = 5050

（ガウスが少年時代に暗算したとされる有名な問題）

Sₙからaₙを求める関係式

n ≥ 2 のとき：aₙ = Sₙ − S_{n−1}

n = 1 のとき：a₁ = S₁

この関係は等差数列に限らず、どんな数列でも成立する。

活用例：Sₙ = n² + 2n が与えられたとき

n ≥ 2：aₙ = Sₙ − S_{n−1} = (n² + 2n) − ((n−1)² + 2(n−1))

= n² + 2n − n² + 2n − 1 − 2n + 2 = 2n + 1

n = 1：a₁ = S₁ = 1 + 2 = 3 = 2×1 + 1 ✓（n ≥ 2の式でn=1も成立）