ハイゼンベルクの不確定性原理の式や単位は？計算方法も解説！（プランク定数：h/4π：標準偏差：計算式など）

物理学を学んでいると、必ずと言っていいほど耳にする言葉があります。

それがハイゼンベルクの不確定性原理です。

ハイゼンベルクの不確定性原理の式や単位は？計算方法も解説！というテーマで、今回は詳しくご紹介していきます。

位置と運動量を同時に正確に測定することはできない、という不思議な原理ですが、具体的にどのような式で表されるのでしょうか。

プランク定数やh/4π、標準偏差といった専門用語が登場するため、難しく感じてしまう方も多いはずです。

しかし、ひとつずつ丁寧に読み解いていけば、決して理解できない内容ではありません。

この記事では、不確定性原理の基本的な考え方から、具体的な計算式、単位の扱い方まで、順を追って解説していきます。

量子力学の入門として、また試験対策としても役立つ内容にまとめました。

ぜひ最後までご覧ください。

ハイゼンベルクの不確定性原理とは何かの結論

それではまずハイゼンベルクの不確定性原理とは何かについて解説していきます。

結論から言うと、ハイゼンベルクの不確定性原理とは粒子の位置と運動量を同時に完全な精度で決定することは原理的に不可能であるという量子力学の基本法則です。

この原理は1927年にドイツの物理学者ヴェルナーハイゼンベルクによって提唱されました。

私たちが日常で扱うマクロな物体であれば、位置と速度を同時に正確に測ることは特に問題になりません。

ところが、電子のような微小な粒子の世界では話が変わってきます。

位置を正確に測定しようとすればするほど、運動量の不確かさが大きくなってしまうのです。

逆に運動量を正確に測ろうとすると、今度は位置の不確かさが増大します。

これは測定技術の未熟さによるものではありません。

自然界に組み込まれた根本的な限界なのです。

ハイゼンベルクの不確定性原理の核心は、位置の不確かさをΔx、運動量の不確かさをΔpとしたとき、両者の積が一定値以上になるという点にあります。

これは観測者の技術や装置の性能とは無関係に成立する、自然界そのものの性質です。

この原理が示すのは、ミクロの世界における量子ゆらぎと呼ばれる本質的な不確定さです。

電子や光子といった量子は、粒子であると同時に波としての性質も持っています。

この二重性こそが、不確定性原理が生まれる背景にあると言えるでしょう。

波としての広がりを持つ以上、その位置を一点に定めることには限界があります。

逆に運動量、つまり波長を正確に定めようとすると、波はどこまでも広がってしまいます。

この対立関係が、不確定性原理の本質なのです。

次の見出しでは、この関係を数式でどのように表すのかを見ていきます。

不確定性原理の式の基本形と各記号の意味

続いては不確定性原理の式の基本形と各記号の意味を確認していきます。

ハイゼンベルクの不確定性原理を表す最も基本的な式は次の通りです。

Δx・Δp ≥ h/4π

この式に登場する記号について、それぞれ確認していきましょう。

Δxは位置の不確かさ、つまり位置の標準偏差を表します。

Δpは運動量の不確かさ、つまり運動量の標準偏差を意味します。

hはプランク定数と呼ばれる物理定数です。

πは円周率であり、約3.14として計算に用いられます。

この式が意味するのは、位置の不確かさと運動量の不確かさの積が、常にh/4π以上になるということです。

つまり、片方の不確かさを小さくしようとすると、もう片方の不確かさが必ず大きくなってしまいます。

ゼロにすることは決してできません。

プランク定数hの値と役割

プランク定数hは、量子力学において非常に重要な役割を担う定数です。

その値はおよそ6.626×10のマイナス34乗ジュール秒と、極めて小さな数値になっています。

この値の小ささこそが、私たちの日常世界では不確定性原理の影響をほとんど感じない理由です。

野球のボールや自動車のような大きな物体では、プランク定数が小さすぎるため、不確定性の影響は無視できるほど小さくなります。

しかし、電子や原子核といったミクロの世界では、この定数が無視できない大きさとして効いてきます。

プランク定数は、光のエネルギーと振動数の関係を表すE=hνの式にも登場することで知られているでしょう。

量子力学のあらゆる場面で顔を出す、まさに基礎中の基礎となる定数なのです。

換算プランク定数ħとh/4πの関係

物理学の教科書では、プランク定数hをそのまま使う表記と、換算プランク定数ħ（エイチバー）を使う表記の両方が登場します。

ħはh/2πと定義される定数です。

この換算プランク定数を使うと、不確定性原理の式は次のように書き換えられます。

Δx・Δp ≥ ħ/2

h/4πという表記とħ/2という表記は、実は同じ内容を意味しています。

h/4π = (h/2π)/2 = ħ/2となるからです。

どちらの表記を使うかは教科書や分野によって異なりますが、意味するところは変わりません。

試験や資料によって表記が違うため、混乱しないよう両方を覚えておくと安心でしょう。

標準偏差ΔxとΔpの統計的な意味

ΔxやΔpという記号は、単なる誤差や測定ミスを表しているわけではありません。

これらは統計学における標準偏差を意味しています。

量子力学では、粒子の位置や運動量は確率的にしか決まりません。

何度も同じ状態の粒子を測定すると、測定値にはばらつきが生じます。

このばらつきの度合いを数値化したものが標準偏差です。

標準偏差が小さいほど、測定値は平均値の近くに集中します。

逆に標準偏差が大きいほど、測定値は広く分布することになるでしょう。

不確定性原理は、この位置の標準偏差と運動量の標準偏差の積に下限があることを主張しているのです。

不確定性原理の単位はどうなっているのか

続いては不確定性原理の単位はどうなっているのかを確認していきます。

不確定性原理の式Δx・Δp ≥ h/4πにおいて、単位の整合性を確認しておくことは理解を深める上でとても重要です。

まず位置xの単位はメートルです。

運動量pの単位はキログラムメートル毎秒になります。

したがって、左辺のΔx・Δpの単位はメートル×キログラムメートル毎秒、つまりキログラムメートルの2乗毎秒です。

一方、プランク定数hの単位はジュール秒です。

ジュールはキログラムメートルの2乗毎秒の2乗という単位に分解できます。

そのため、ジュール秒はキログラムメートルの2乗毎秒と等しくなるのです。

左辺と右辺の単位がきちんと一致していることが分かります。

単位の整合性が取れているという事実は、この式が物理的に正しい関係式であることを裏付けています。

数式を扱う際は、必ず単位もセットで確認する癖をつけると、計算ミスの発見にも役立つでしょう。

下記の表に、不確定性原理に関わる主な物理量とその単位をまとめました。

物理量	記号	単位	単位の読み方
位置の不確かさ	Δx	m	メートル
運動量の不確かさ	Δp	kg・m/s	キログラムメートル毎秒
プランク定数	h	J・s	ジュール秒
換算プランク定数	ħ	J・s	ジュール秒
エネルギーの不確かさ	ΔE	J	ジュール
時間の不確かさ	Δt	s	秒

このように、単位を確認しながら式を扱うことで、計算過程での誤りにも気づきやすくなります。

単位を意識する習慣は、物理の問題を解く上で非常に大切な視点と言えるでしょう。

不確定性原理の計算方法を具体例で解説

続いては不確定性原理の計算方法を具体例で解説していきます。

実際にどのように計算するのか、具体的な数値を使って見ていきましょう。

位置の不確かさから運動量の不確かさを求める

例えば、電子の位置がある範囲Δx=1.0×10のマイナス10乗メートルの精度で分かっているとします。

このとき、運動量の不確かさΔpの最小値を求めてみましょう。

Δp ≥ h/(4π・Δx)

Δp ≥ 6.626×10のマイナス34乗 / (4×3.14×1.0×10のマイナス10乗)

Δp ≥ 約5.27×10のマイナス25乗 kg・m/s

このように、位置の精度を高く指定すればするほど、運動量の不確かさの最小値は大きくなっていきます。

これは位置を狭い範囲に限定しようとすればするほど、運動量が読めなくなるという不確定性原理の性質そのものを表しているのです。

速度の不確かさへの変換方法

運動量pは質量mと速度vの積、つまりp=mvという関係で表されます。

そのため、運動量の不確かさΔpから速度の不確かさΔvを求めることも可能です。

Δv = Δp / m

例えば電子の質量は約9.11×10のマイナス31乗キログラムです。

先ほど求めたΔp=約5.27×10のマイナス25乗kg・m/sを電子の質量で割ってみます。

Δv = 5.27×10のマイナス25乗 / 9.11×10のマイナス31乗

Δv ≥ 約5.79×10の5乗 m/s

この結果を見ると、電子のようなごく軽い粒子では、速度の不確かさが非常に大きな値になることが分かります。

ミクロの世界特有の現象と言えるでしょう。

エネルギーと時間の不確定性関係

不確定性原理には、位置と運動量の関係のほかにも、エネルギーと時間に関する形式があります。

ΔE・Δt ≥ h/4π

これはエネルギーの不確かさΔEと、時間の不確かさΔtの積にも下限があることを示す式です。

例えば、非常に短い時間しか存在しない不安定な粒子は、そのエネルギー、つまり質量に大きな不確かさを持つことになります。

素粒子物理学における共鳴状態の幅の説明などにも、この関係はよく利用されているのです。

この形式も併せて覚えておくと、応用問題にも対応しやすくなるでしょう。

不確定性原理と観測問題や量子力学との関わり

続いては不確定性原理と観測問題や量子力学との関わりを確認していきます。

不確定性原理は、単なる数式にとどまらず、量子力学の哲学的な解釈にも深く関わっています。

古典力学の世界では、物体の位置と運動量が分かれば、未来の運動をすべて予測できると考えられてきました。

これはラプラスの悪魔と呼ばれる決定論的な考え方です。

ところが、不確定性原理はこの前提そのものを覆します。

位置と運動量を同時に正確に知ることができない以上、未来を完全に予測することは原理的に不可能になるのです。

この事実は、物理学に大きな衝撃を与えました。

アインシュタインでさえ、この確率的な世界観に強い違和感を示したことは有名なエピソードでしょう。

神はサイコロを振らない、という言葉を残したほどです。

しかし、その後の実験や理論の発展により、不確定性原理は量子力学の基盤として広く受け入れられるようになりました。

観点	古典力学	量子力学
位置と運動量	同時に正確に決定可能	同時には正確に決定不可能
未来の予測	決定論的に予測可能	確率的にしか予測できない
粒子の性質	粒子として扱う	粒子と波の二重性を持つ
観測の影響	観測は結果に影響しない	観測が状態に影響を与える