シュバルツシルト半径の求め方は？公式と計算方法も！（rs=2GM/c²：重力定数：光速度：質量：導出過程など）

宇宙の神秘を語るうえで欠かせない概念のひとつが、シュバルツシルト半径です。

ブラックホールの「境界線」を定める物理量として、理論物理学や天体物理学の分野で非常に重要な役割を果たしています。

「シュバルツシルト半径って何？」「どうやって求めるの？」と疑問に感じている方も多いのではないでしょうか。

本記事では、シュバルツシルト半径の求め方を、公式・計算方法・導出過程まで丁寧にわかりやすく解説していきます。

重力定数や光速度、質量との関係も整理しながら確認していきましょう。

シュバルツシルト半径とは何か？その本質と意味

それではまず、シュバルツシルト半径とは何かという核心的な問いから解説していきます。

シュバルツシルト半径（Schwarzschild radius）とは、ある質量を持つ物体を圧縮し続けたとき、脱出速度がちょうど光速に等しくなる半径のことです。

この半径より内側では、光でさえも脱出できない領域が生まれます。

この境界面のことを「事象の地平面（イベント・ホライズン）」と呼び、ブラックホールの外縁を定義する重要な概念として知られています。

シュバルツシルト半径は、ブラックホールの「見えない境界線」を決める数値です。この半径の内側では、光速をもってしても脱出することができません。

1916年、ドイツの物理学者カール・シュバルツシルトがアインシュタインの一般相対性理論の方程式を解く過程で導き出した解がその起源です。

アインシュタイン方程式の厳密解として初めて求められたもので、当時の物理学界に大きな衝撃を与えました。

ブラックホールとの関係

シュバルツシルト半径は、ブラックホール形成の条件を示す指標です。

ある天体の実際の半径がシュバルツシルト半径よりも小さくなった場合、その天体はブラックホールとなります。

逆に言えば、地球や太陽のような通常の天体は、シュバルツシルト半径よりはるかに大きなサイズを保っているため、ブラックホールにはなりません。

事象の地平面との違い

「シュバルツシルト半径」と「事象の地平面」は混同されやすい言葉ですが、厳密には区別されます。

シュバルツシルト半径はあくまで計算上の数値（長さ）であり、事象の地平面はその半径に対応する球面のことを指します。

シュバルツシルト半径という「大きさ」と、事象の地平面という「面」という関係で整理すると理解しやすいでしょう。

脱出速度との関係

シュバルツシルト半径の概念は、脱出速度の考え方と深く結びついています。

脱出速度とは、天体の重力圏から脱するために必要な最低速度のことです。

シュバルツシルト半径上では脱出速度が光速 c に一致し、これ以上圧縮されると脱出速度が光速を超えてしまうため、あらゆるものが内部に閉じ込められることになります。

シュバルツシルト半径の公式 rs＝2GM／c²

続いては、シュバルツシルト半径を求める公式について確認していきます。

シュバルツシルト半径は、次の公式によって表されます。

シュバルツシルト半径の公式

rs ＝ 2GM / c²

rs ：シュバルツシルト半径（単位：m）

G ：万有引力定数（重力定数）≒ 6.674 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²

M ：天体の質量（単位：kg）

c ：真空中の光速度 ≒ 3.0 × 10⁸ m/s

この式はシンプルに見えますが、重力定数G・質量M・光速度cという3つの基本物理定数が組み合わさった非常に深い意味を持つ数式です。

各定数の役割

公式に含まれる各定数の役割を整理してみましょう。

記号	名称	数値（SI単位）	役割
G	万有引力定数（重力定数）	6.674 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²	重力の強さを決める定数
M	質量	対象によって異なる	天体が持つ質量
c	光速度	約 3.0 × 10⁸ m/s	宇宙の最大速度
rs	シュバルツシルト半径	計算結果（m）	ブラックホール境界の半径

重力定数Gは非常に小さな値であるため、シュバルツシルト半径も通常の天体ではとても小さな値になります。

逆に光速度cは非常に大きな値であり、c²はさらに巨大な数になります。

この組み合わせが、普通の天体のシュバルツシルト半径が現実の大きさに比べてきわめて小さいことを示しています。

公式の見方とポイント

公式 rs ＝ 2GM / c² から読み取れる重要なポイントを確認しましょう。

質量Mが大きければ大きいほど、シュバルツシルト半径も大きくなります。

つまり、質量とシュバルツシルト半径は比例関係にあることがわかります。

また、分母にあるc²は非常に大きいため、ほとんどの天体のシュバルツシルト半径は実際のサイズよりもはるかに小さくなります。

太陽と地球の場合の計算例

具体的な天体でシュバルツシルト半径を計算してみましょう。

太陽のシュバルツシルト半径

太陽の質量 M ≒ 1.989 × 10³⁰ kg

rs ＝ 2 × 6.674 × 10⁻¹¹ × 1.989 × 10³⁰ ÷ (3.0 × 10⁸)²

rs ≒ 2.95 × 10³ m ≒ 約 2.95 km

地球のシュバルツシルト半径

地球の質量 M ≒ 5.972 × 10²⁴ kg

rs ＝ 2 × 6.674 × 10⁻¹¹ × 5.972 × 10²⁴ ÷ (3.0 × 10⁸)²

rs ≒ 8.87 × 10⁻³ m ≒ 約 8.9 mm

太陽の半径は約70万kmですが、シュバルツシルト半径はわずか約3kmほどです。

地球にいたっては、約9mmというビー玉よりも小さなサイズまで圧縮しなければブラックホールにはなりません。

これらの例からも、通常の天体がいかにブラックホールからほど遠い存在かがよくわかるでしょう。

シュバルツシルト半径の導出過程

続いては、シュバルツシルト半径の公式がどのように導かれるかを確認していきます。

公式の導出には大きく分けて2つのアプローチがあります。

ひとつはニュートン力学を用いた古典的な導出、もうひとつは一般相対性理論（アインシュタイン方程式）による厳密な導出です。

ニュートン力学による近似的な導出

ニュートン力学を使った導出は、直感的に理解しやすい方法です。

脱出速度の公式 v ＝ √(2GM/r) において、v ＝ c（光速）を代入し、rについて解くことでシュバルツシルト半径を求めることができます。

ニュートン力学による導出

脱出速度の公式： v ＝ √(2GM / r)

v ＝ c を代入する

c ＝ √(2GM / rs)

両辺を二乗すると

c² ＝ 2GM / rs

rsについて整理すると

rs ＝ 2GM / c²

この導出はあくまでも古典力学的な近似であり、厳密には一般相対性理論の枠組みが必要です。

しかし、結果として同じ式が得られることは非常に興味深い点です。

一般相対性理論による厳密な導出

より厳密には、アインシュタインの一般相対性理論から導かれるシュバルツシルト解によって同じ公式が得られます。

シュバルツシルトはアインシュタイン方程式の球対称・静的な解を求め、時空の計量テンソルを記述しました。

そのシュバルツシルト計量において、時空の特異性が現れる半径がまさに rs ＝ 2GM / c² に相当します。

一般相対性理論においてこの半径は重力的特異点ではなく座標特異点（見かけ上の特異点）であることも重要な知識です。

ニュートン力学と相対論の結果が一致する理由

ニュートン力学と一般相対性理論という全く異なるアプローチから同一の式が導かれることは、物理学の妙とも言えるでしょう。

ニュートン力学の導出は「脱出速度＝光速」という考え方に基づいており、古典的な運動エネルギーと重力ポテンシャルエネルギーの釣り合いを利用しています。

一方、一般相対論の導出は時空の幾何学的な変形を記述するものであり、本質的には全く異なる理論的背景を持ちます。

それにもかかわらず同じ結果になるのは、この問題の対称性の高さと、ニュートン力学が一般相対論の弱重力極限として位置づけられることと関係しているでしょう。

シュバルツシルト半径の応用と宇宙物理学への展開

続いては、シュバルツシルト半径が実際の宇宙物理学においてどのように活用されているかを確認していきます。

シュバルツシルト半径の概念は、ブラックホールの研究にとどまらず、宇宙論全体に深く関わっています。

ブラックホールの種類とシュバルツシルト半径

ブラックホールには質量によってさまざまな種類があり、それぞれシュバルツシルト半径も大きく異なります。

種類	質量の目安	シュバルツシルト半径の目安
恒星質量ブラックホール	太陽の数倍〜数十倍	数km〜数十km
中質量ブラックホール	太陽の100〜10万倍	数百km〜数億km
超大質量ブラックホール	太陽の100万倍以上	数億km〜数百億km