三角形の体積の求め方や公式や計算方法！直角三角形や二等辺三角形や正三角形の回転等も

三角形の体積の求め方や公式・計算方法について、疑問を持っている方は多いのではないでしょうか。

「三角形には体積なんてあるの？」「直角三角形や正三角形を回転させたらどうなるの？」といった疑問は、数学を学んでいると自然と出てくるテーマです。

実は、三角形そのものは平面図形なので体積を持ちませんが、三角形を底面とした「三角柱」や「三角錐（三角すい）」、あるいは三角形を軸の周りに回転させた「回転体」には体積があります。この記事では、三角形の体積の求め方や公式・計算方法を、直角三角形・二等辺三角形・正三角形の回転なども含めて丁寧に解説していきます。

数学が苦手な方でも理解しやすいよう、具体的な例や図解を交えながら順を追ってお伝えしますので、ぜひ最後まで読み進めてみてください。

三角形の体積の求め方の結論｜三角柱・三角錐・回転体の3パターンを押さえよう！

それではまず、三角形の体積の求め方の全体像と結論について解説していきます。

冒頭でもお伝えしたとおり、三角形は平面図形であるため、それ自体に体積はありません。しかし、三角形をもとにした立体図形には体積があります。主に以下の3つのパターンが登場します。

立体の種類	説明	体積の公式
三角柱	三角形の底面を垂直に伸ばした柱状の立体	底面積 × 高さ
三角錐（三角すい）	三角形の底面から頂点に向かってとがった立体	底面積 × 高さ × 1/3
回転体	三角形を軸の周りに1回転させた立体	パップスの定理 or 積分

それぞれの求め方は大きく異なりますが、いずれも「底面積」をいかに正確に求めるかがカギとなります。次の見出しから、各パターンの公式と計算例を順番に確認していきましょう。

三角柱の体積の求め方｜底面積と高さをかけるだけ！

続いては、三角柱の体積の求め方と計算例を確認していきます。

三角柱とは、三角形を底面として、その面に垂直な方向に一定の高さで伸ばした柱状の立体のことです。プリズムとも呼ばれ、身近なところではチョコレートの箱などにも見られる形です。

三角柱の体積の基本公式

三角柱の体積は非常にシンプルな公式で求められます。

たとえば、底面が底辺6cm・高さ4cmの三角形で、柱の高さが10cmの三角柱の体積を求めてみましょう。

計算の手順は「まず底面の三角形の面積を求め、次にそれに柱の高さをかける」という2ステップです。底面の三角形の形（直角三角形・二等辺三角形・正三角形）によって底面積の求め方が変わる点に注意しましょう。

直角三角形を底面とした三角柱の体積

直角三角形を底面とする三角柱は、計算がしやすいのが特徴です。直角をはさむ2辺がそのまま底辺と高さになるため、底面積を求めるのに迷いません。

直角三角形の斜辺はピタゴラスの定理で求められますが、体積の計算には直角をはさむ2辺だけ使えばよいのがポイントです。

正三角形・二等辺三角形を底面とした三角柱の体積

正三角形や二等辺三角形を底面とする場合は、底面積を求める際に高さ（垂線）を計算する手間がかかります。

二等辺三角形の場合は、底辺の中点から頂点への垂線を求めてからピタゴラスの定理を使います。

正三角形の公式は頻出なので、「(√3 / 4) × a²」をしっかり覚えておくと計算がスムーズです。

三角錐（三角すい）の体積の求め方｜1/3をかけることを忘れずに！

続いては、三角錐（三角すい）の体積の求め方と計算例を確認していきます。

三角錐とは、三角形の底面から1つの頂点に向かってすぼまっていく、ピラミッドのような立体のことです。三角柱と形は似ていますが、体積は三角柱の3分の1になります。

三角錐の体積の基本公式

三角錐の体積の公式は、三角柱と比べて1/3がかかる点が重要です。

たとえば、底面が底辺8cm・高さ6cmの三角形で、錐の高さが9cmの三角錐の体積は次のようになります。

計算手順は三角柱と同様ですが、最後に必ず1/3をかけることを忘れないようにしましょう。

直角三角形・正三角形を底面とした三角錐の体積

底面が直角三角形の場合も正三角形の場合も、まず底面積を求めてから1/3をかけるという手順は変わりません。

底面の種類	底面積の公式	体積の公式
一般の三角形	底辺 × 高さ ÷ 2	底面積 × h × 1/3
直角三角形	直角辺a × 直角辺b ÷ 2	底面積 × h × 1/3
正三角形（1辺 a）	(√3/4) × a²	底面積 × h × 1/3
二等辺三角形	底辺 × 垂線 ÷ 2	底面積 × h × 1/3

どの底面であっても、公式の構造は同じです。底面積を正確に求めることが、三角錐の体積計算で最も大切なステップといえます。

三角柱と三角錐の体積の違いと比較

三角柱と三角錐は形が似ているため、公式を混同してしまうことがよくあります。整理して確認しておきましょう。

これは「同じ底面・同じ高さを持つ柱体と錐体の体積比は3：1」という数学の重要な性質から来ています。四角柱と四角錐、円柱と円錐でも同じ比率になるため、まとめて覚えておくと便利です。

三角形の回転体の体積の求め方｜直角三角形・二等辺三角形・正三角形を回転させると？

続いては、三角形を軸の周りに回転させた場合にできる立体（回転体）の体積の求め方を確認していきます。

「回転体」とは、ある図形を直線（軸）を中心に360度回転させてできる立体のことです。三角形を回転させると、円錐や円錐台などの立体が現れます。これは中学・高校数学でも頻繁に出題される重要なテーマです。

直角三角形を回転させた場合（円錐になる）

直角三角形を直角をはさむ1辺を軸として回転させると、きれいな円錐が完成します。これは最もシンプルな回転体のパターンです。

どちらの辺を軸にするかによって、できる円錐の形が変わります。軸にした辺が「高さ」、もう一方の直角辺が「底面の半径」になると覚えておきましょう。

二等辺三角形を回転させた場合（円錐または円錐台になる）

二等辺三角形を対称軸（底辺の垂直二等分線）を軸として回転させると、底面が1つの円錐になります。軸が底辺を通る場合と通らない場合で形が変わります。

一方、底辺に平行な軸で回転させると「円錐台」や「ドーナツ状の立体（トーラス）」になることもあります。問題文で「どの軸を中心に回転させるか」を必ず確認することが重要です。

正三角形を回転させた場合（円錐になる）

正三角形を中心軸（頂点から底辺への垂線）を中心に回転させると、底面が正円の円錐ができます。

正三角形の高さの公式「(√3/2) × a」を覚えておくと、回転体の計算もスムーズに進められます。回転体の体積は最終的に円錐の公式に帰着することがほとんどですので、円錐の公式はしっかり押さえておきましょう。

三角形の種類	回転軸	できる立体	体積の公式
直角三角形	直角をはさむ辺	円錐	(1/3)πr²h
二等辺三角形	対称軸（垂線）	円錐	(1/3)πr²h
正三角形	頂点からの垂線	円錐	(√3πa³)/24
一般の三角形	辺・外部軸など	円錐・円錐台・複合体	パターンによる

まとめ

この記事では、三角形の体積の求め方や公式・計算方法について、三角柱・三角錐・回転体の3つのパターンに分けて解説しました。

最も大切なポイントをまとめると、三角形自体には体積はなく、三角形を使った立体（三角柱・三角錐・回転体）に体積があるという前提を押さえることが出発点です。

三角柱の体積は「底面積 × 高さ」、三角錐の体積は「底面積 × 高さ × 1/3」です。どちらも底面積の求め方が正確かどうかがカギとなります。直角三角形・正三角形・二等辺三角形のそれぞれの底面積の公式を使い分けることが重要です。

回転体については、どの辺を軸にして回転させるかによってできる立体が変わります。直角三角形・二等辺三角形・正三角形のいずれも、対称軸や直角辺を中心に回転させると円錐になるケースがほとんどです。円錐の体積公式「(1/3) × π × r² × h」はぜひ確実に覚えておきましょう。

三角形に関わる立体の体積計算は、公式の意味を理解してから練習問題を繰り返すことで自然と身についていきます。この記事を参考に、三角形の体積に関する問題への理解を深めていただければ幸いです。