数学の問題を解いていると、平方根の値を求める場面に遭遇することがよくあります。√2や√3といった基本的な平方根は覚えている方も多いでしょう。しかし、√33のようなやや大きな数の平方根となると、パッと値が思い浮かばないのではないでしょうか。
実は√33は、受験やテストでも登場する可能性がある重要な平方根の一つ。正確な値や近似値を知っておくと、計算がスムーズに進みます。
この記事では、√33の値や覚え方、計算方法について詳しく解説していきます。語呂合わせを使った暗記法や、実際の計算で役立つテクニックもご紹介しますので、ぜひ最後までご覧ください。
目次
33の平方根の値はいくつか
それではまず、√33の正確な値について解説していきます。
√33は無理数であり、循環しない無限小数となります。そのため、完全に正確な値を有限の桁数で表すことはできません。電卓やコンピュータを使って計算すると、次のような値が得られるでしょう。
小数第一位まで四捨五入すると約5.7、小数第二位まで求めると約5.74となります。実際の計算では、必要な精度に応じてこれらの近似値を使い分けることが重要です。
ちなみに、33という数は完全平方数ではありません。完全平方数とは、ある整数の2乗で表される数のこと。33に近い完全平方数を確認してみましょう。
| n | n² | 33との差 |
|---|---|---|
| 5 | 25 | -8 |
| 6 | 36 | +3 |
この表からわかるように、33は5²=25と6²=36の間に位置しています。したがって、√33は5と6の間の値となるわけです。
√33の覚え方と語呂合わせ
続いては、√33を効率的に覚えるための方法を確認していきます。
数学の試験では電卓が使えない場合も多く、主要な平方根の値は暗記しておくと便利。√33の近似値5.744562…を覚えるには、語呂合わせが効果的でしょう。
「こんなに死にそうな33」5.74（こんなに死に）で√33を覚える
「こんなに（5.74）」という語呂で、小数第二位まで覚えられます。より精度が必要な場合は、小数第三位や第四位まで覚える語呂合わせを工夫するのもよいかもしれません。
また、別の覚え方として、5.7という大まかな値だけ記憶しておくという方法もあります。多くの計算問題では、小数第一位程度の精度があれば十分な場合が多いからです。
さらに実用的なアプローチとして、近い完全平方数との関係で覚える方法も有効。先ほど確認したように、√33は√36=6よりやや小さい値です。6から少し引いた値として「5.7くらい」と感覚的に把握しておくだけでも、計算の見当をつけるのに役立つでしょう。
√33の近似値の求め方
次に、√33の近似値を自分で計算する方法について見ていきましょう。
電卓がない状況でも、いくつかの手法を使えば√33の近似値を求めることが可能です。
はさみうちによる方法
最も基本的な方法は、試行錯誤で値を絞り込んでいくアプローチ。
5² = 25（33より小さい）6² = 36（33より大きい）
よって、5 < √33 < 6
次に、5.5で試してみます。
5.5² = 30.25（33より小さい）よって、5.5 < √33 < 6
さらに細かく調べていきましょう。
5.7² = 32.49（33より小さい）5.8² = 33.64（33より大きい）
よって、5.7 < √33 < 5.8
このように範囲を狭めていくことで、徐々に正確な値に近づけていけます。
ニュートン法による計算
より高度な方法として、ニュートン法という数値計算の手法があります。これは次の式を繰り返し適用する方法です。
初期値をx(0) = 6とすると、次のように計算が進みます。
| 反復回数 | x(n)の値 |
|---|---|
| 0 | 6.0 |
| 1 | 5.75 |
| 2 | 5.744565… |
| 3 | 5.744562646… |
わずか数回の計算で、非常に正確な値が得られることがわかります。ニュートン法は収束が速いため、効率的に高精度な近似値を求められるのが特徴です。
√33を簡単にする方法
では、√33はこれ以上簡単な形に変形できるのでしょうか。
平方根を簡単にする際の基本は、根号の中の数を素因数分解すること。まず33を素因数分解してみましょう。
33は3と11の積で表されます。どちらも素数であり、同じ素因数が2つ以上含まれていません。
平方根を簡単にできるのは、根号の中に同じ因数が2つ以上ある場合。たとえば√12なら、次のように変形できます。
しかし√33の場合、素因数が3と11で1つずつしかないため、これ以上簡単な形には変形できないのです。
√33はすでに最も簡単な形√33 = √(3×11)として表せるが、根号の外に出せる因数はない
したがって、√33はそのまま√33と表記するのが最もシンプルな形となります。
√33に関連する計算問題
最後に、√33を含む実際の計算例を確認していきます。
実際の問題では、√33単体ではなく、他の数や平方根と組み合わせて出題されることが多いでしょう。いくつかの典型的なパターンを見ていきましょう。
√33を含む加減算
例題1: 2√33 + 3√33を計算せよ解答: 同じ平方根なので係数を足す
2√33 + 3√33 = 5√33
例題2: √33 + √3を計算せよ解答: 異なる平方根なので、そのまま
√33 + √3（これ以上簡単にできない)
平方根の加減算では、根号の中が同じ場合のみ係数をまとめられるという原則を覚えておきましょう。
√33を含む乗除算
例題3: √33 × √3を計算せよ解答: 根号の中を掛け算する
√33 × √3 = √(33×3) = √99 = √(9×11) = 3√11
例題4: √33 ÷ √11を計算せよ解答: 根号の中を割り算する
√33 ÷ √11 = √(33÷11) = √3
乗除算の場合は、根号の中の数同士を計算できます。計算後に簡単にできるか確認することも忘れずに。
√33の有理化
分母に√33がある場合、有理化という操作を行います。
例題5: 6/√33を有理化せよ解答: 分母分子に√33を掛ける
6/√33 = (6×√33)/(√33×√33) = 6√33/33 = 2√33/11
有理化は、分母から根号を取り除くために重要なテクニック。最後に約分できるかどうかも確認しましょう。
まとめ
この記事では、√33の値や計算方法について詳しく解説してきました。
√33は約5.744という値を持つ無理数であり、「こんなに死にそうな33」という語呂合わせで覚えられます。素因数分解すると3×11となり、これ以上簡単な形には変形できません。
近似値が必要な場合は、はさみうちの方法やニュートン法を使って自分で計算することも可能。実際の問題では、他の平方根との加減乗除や有理化といった操作と組み合わせて出題されることが多いでしょう。
平方根の計算は数学の基礎として非常に重要。√33のような具体的な値を通して、平方根の性質や計算方法をしっかり理解しておくことが大切です。この知識は、今後さらに高度な数学を学ぶ際の土台となるはずですから、ぜひ繰り返し練習して身につけてください。
