三角形の重心の求め方や性質は？ベクトルや1/3がなぜかの証明も【二等辺三角形：座標：正三角形の距離や重心比】

「三角形の重心ってどこにあるの？」「なぜ重心は中線を2：1に分けるの？」という疑問を持っている方は多いのではないでしょうか。重心は三角形の図形問題やベクトルの問題で頻繁に登場する重要な概念であり、その性質をしっかり理解しておくことが高得点への近道です。

三角形の重心とは、3本の中線（各頂点とその対辺の中点を結ぶ線分）が交わる点のことです。重心は中線をそれぞれ頂点側から2：1に内分するという重要な性質を持っており、この「2：1」という比率が座標計算やベクトル問題の核心となります。

本記事では「三角形の重心の求め方や性質は？ベクトルや1/3がなぜかの証明も【二等辺三角形：座標：正三角形の距離や重心比】」をテーマに、重心の定義・座標での求め方・2：1の比の証明・ベクトルでの表し方・二等辺三角形や正三角形への応用まで、わかりやすく丁寧に解説していきます。

三角形の重心は3頂点の座標の平均で求められ中線を2：1に分ける点である

それではまず、三角形の重心の定義と、座標を使った求め方という結論から解説していきます。

重心の定義と基本性質

三角形の重心（G）とは、3本の中線が1点で交わる点のことです。中線とは各頂点からその対辺の中点へ引いた線分のことで、三角形には必ず3本の中線があります。

三角形の重心の基本性質

性質1：3本の中線はすべて1点（重心G）で交わる

性質2：重心は各中線を頂点側から2：1に内分する

性質3：重心の座標は3頂点の座標の平均で求められる

性質4：重心は三角形を面積が等しい6つの三角形に分割する

「重心」という名前の通り、重心は三角形の「重さの中心」です。均一な薄板で作った三角形を重心の位置で支えると、三角形が水平に釣り合うという物理的な意味もあります。

座標を使った重心の求め方

重心の座標は非常にシンプルな公式で求めることができます。

△ABCの頂点をA(x₁, y₁)・B(x₂, y₂)・C(x₃, y₃)とするとき

重心Gの座標は

G ＝ ((x₁＋x₂＋x₃)/3, (y₁＋y₂＋y₃)/3)

例：A(2, 4)・B(6, 0)・C(4, 8)のとき

G ＝ ((2＋6＋4)/3, (4＋0＋8)/3)

G ＝ (12/3, 12/3)

G ＝ (4, 4)

「x座標の平均・y座標の平均」

が重心の座標になるという非常にシンプルな公式です。3頂点の座標を足して3で割るだけで求められるため、計算ミスが起こりにくい公式といえるでしょう。

重心と中点・内分点の関係

重心の公式がなぜ「3頂点の平均」になるのかを、中点と内分点の観点から確認しておきましょう。

A(x₁, y₁)・B(x₂, y₂)・C(x₃, y₃)において

辺BCの中点Mの座標は

M ＝ ((x₂＋x₃)/2, (y₂＋y₃)/2)

重心GはAMを2：1に内分する点なので

G ＝ (1×x₁ ＋ 2×(x₂＋x₃)/2)/(1＋2), … )

＝ ((x₁＋x₂＋x₃)/3, (y₁＋y₂＋y₃)/3)

→ 重心の公式が3頂点の平均になることが確認できます。

内分点の公式を使うと、重心の公式が自然に導き出されます。この導き方を理解しておくと、公式を忘れても自分で復元できるようになるでしょう。

重心が中線を2：1（1/3）に分ける理由の証明

続いては、重心が中線を頂点側から2：1に分ける理由の証明を確認していきます。「なぜ1/3なのか」「なぜ2：1なのか」という疑問への答えがここにあります。

中線の交点が一致することの証明（概略）

まず、3本の中線が1点で交わることを確認します。

△ABCにおいて、辺BCの中点をM、辺CAの中点をNとする。

中線AMとBNの交点をGとする。

ベクトルを使ってGの位置を表すと

G ＝ A ＋ t(M − A)（AMをt：(1−t)に内分）

G ＝ B ＋ s(N − B)（BNをs：(1−s)に内分）

M ＝ (B＋C)/2、N ＝ (C＋A)/2を代入して整理すると

t ＝ 2/3、s ＝ 2/3

→ Gは中線AMをAから2/3の位置、つまりAG：GM ＝ 2：1に分けます。

この計算から、重心は各中線を頂点から2/3の位置に分ける点であることが示されます。残りの1/3が中点側になるため、比率は2：1（頂点側：中点側）となります。

「1/3」という数字が登場する理由

重心の問題でよく出てくる「1/3」という数字は、どこから来るのでしょうか。

重心と「1/3」の関係

重心Gは中線を2：1に分けるため

頂点から重心までの距離＝中線全体の2/3

重心から中点までの距離＝中線全体の1/3

これが「1/3」という数字が登場する理由です。

また、重心の座標公式で「3で割る（÷3）」のも、3頂点を等しく平均するためであり、この「1/3ずつ」という均等な性質が重心の本質です。

重心は三角形を「等面積6分割」する点でもあります。中線1本で三角形を2等分し、3本の中線が交わることで6つの三角形に分割されます。この6つの三角形はすべて面積が等しいという美しい性質を持っています。

重心比2：1の幾何学的証明

幾何学的な証明の概要

△ABCにおいてBCの中点をM、ACの中点をNとする。

中線AMとBNの交点をGとする。

MNは中点連結定理よりABの平行線であり、MN ＝ AB/2

△AGBと△MGNは相似（AA相似）

相似比＝ AB：MN ＝ 2：1

したがってAG：GM ＝ 2：1

→ 重心Gは中線AMを頂点Aから2：1に内分することが証明されます。

この証明のポイントは「中点連結定理」と「三角形の相似」の組み合わせです。中点連結定理（三角形の2辺の中点を結ぶ線分はもう1辺に平行で長さは半分）を使うと、相似比が2：1であることが導かれ、重心比も2：1となることが示せます。

ベクトルを使った重心の求め方と表し方

続いては、高校数学で頻出のベクトルを使った重心の求め方と表し方を確認していきます。ベクトルと重心の組み合わせは入試でも非常によく出題される重要テーマです。

ベクトルで重心を表す基本式

位置ベクトルを使うと、重心の位置を簡潔に表すことができます。

原点をOとして、A・B・Cの位置ベクトルをそれぞれa⃗・b⃗・c⃗とするとき

重心Gの位置ベクトルg⃗は

g⃗ ＝ (a⃗ ＋ b⃗ ＋ c⃗) / 3

また、頂点Aを基点として

AB⃗ ＝ b⃗ − a⃗ ＝ p⃗、AC⃗ ＝ c⃗ − a⃗ ＝ q⃗ とおくと

AG⃗ ＝ (p⃗ ＋ q⃗) / 3 × 2 ＝ … （内分点の公式から導出）

重心GはABCの平均位置であり g⃗ ＝ (a⃗ ＋ b⃗ ＋ c⃗)/3

「3頂点の位置ベクトルの和を3で割る」

という公式は、座標での重心公式とまったく同じ構造です。ベクトルと座標は本質的に同じ計算をしていることが見て取れます。

ベクトルで重心を使う計算問題

問題1：A(1, 2)・B(3, 6)・C(5, 1)の△ABCの重心Gをベクトルで求めよ

g⃗ ＝ (a⃗ ＋ b⃗ ＋ c⃗) / 3

G ＝ ((1＋3＋5)/3, (2＋6＋1)/3)

G ＝ (9/3, 9/3) ＝ (3, 3)

問題2：重心Gが(4, 3)でA(1, 1)・B(7, 2)のとき、頂点Cを求めよ

重心の公式より

(x₁＋x₂＋x₃)/3 ＝ 4 → 1＋7＋x₃ ＝ 12 → x₃ ＝ 4

(y₁＋y₂＋y₃)/3 ＝ 3 → 1＋2＋y₃ ＝ 9 → y₃ ＝ 6

C ＝ (4, 6)

問題2のように「重心から頂点を逆算する」パターンも頻出です。「3頂点のx座標の和＝重心のx座標×3」という逆算の発想を使いこなせるようにしておきましょう。

ベクトルの重心公式を使った証明問題

問題3：△ABCの重心GについてOG⃗ ＝ (OA⃗ ＋ OB⃗ ＋ OC⃗)/3を示せ

証明

辺BCの中点をMとする。

OM⃗ ＝ (OB⃗ ＋ OC⃗)/2（中点の位置ベクトル）

重心GはAMを2：1に内分するので

OG⃗ ＝ (1×OA⃗ ＋ 2×OM⃗)/(1＋2)

＝ (OA⃗ ＋ 2×(OB⃗＋OC⃗)/2)/3

＝ (OA⃗ ＋ OB⃗ ＋ OC⃗)/3

（証明終わり）

この証明は「中点の位置ベクトル」と「内分点の公式」の2つを使う典型的なパターンです。証明の流れを一度自分の手で書いてみると、重心公式の構造が深く理解できるでしょう。

二等辺三角形・正三角形の重心と距離の計算

続いては、特殊な三角形における重心の求め方と、重心から各頂点・各辺への距離の計算について確認していきます。

二等辺三角形の重心

二等辺三角形の重心は、対称軸（頂角の二等分線）の上に必ず位置します。

二等辺三角形の重心の例

A(0, 6)・B(−3, 0)・C(3, 0)の二等辺三角形（AB＝AC）の重心を求めよ

G ＝ ((0＋(−3)＋3)/3, (6＋0＋0)/3)

G ＝ (0/3, 6/3)

G ＝ (0, 2)

→ 重心はy軸（対称軸）上の点(0, 2)にあることが確認できます。

二等辺三角形の重心は対称軸の上にある

という事実は、問題を解くうえで非常に便利な性質です。対称軸がわかっていれば重心の座標を絞り込むことができます。

正三角形の重心と重心距離

正三角形では重心・外心・内心・垂心がすべて同じ点（一致）になるという特別な性質があります。

1辺の長さがaの正三角形の重心について

正三角形の高さ h ＝ (√3/2)a

頂点から重心までの距離＝ h × (2/3) ＝ (√3/2)a × (2/3) ＝ (√3/3)a ＝ a/√3

重心から底辺（中点）までの距離＝ h × (1/3) ＝ (√3/2)a × (1/3) ＝ (√3/6)a

例：1辺が6の正三角形の重心から各頂点への距離

h ＝ (√3/2) × 6 ＝ 3√3

頂点→重心＝ 3√3 × (2/3) ＝ 2√3

正三角形では「重心から各頂点までの距離はすべて等しい」という性質もあります。この距離が外接円の半径Rに等しいことも覚えておくと、円と三角形が絡む問題で役立ちます。

重心の性質まとめと応用

性質	内容	適用場面
重心比	中線を頂点側から2：1に内分	内分点の問題・ベクトル
座標公式	3頂点の座標の平均	座標平面の問題
位置ベクトル	(a⃗＋b⃗＋c⃗)/3	ベクトルの問題
等面積分割	三角形を6等分（面積均等）	面積問題・証明
正三角形の重心距離	頂点→重心＝ (2/3)h	正三角形・外接円
二等辺三角形の重心	対称軸（頂角の二等分線）上にある	対称性を使う問題