逆三角関数の積分は、数学Ⅲの中でも難易度が高く、解き方の手順をしっかり身につける必要があります。
特にアークコサイン（arccos x）の積分は、部分積分と置換積分を組み合わせた計算が必要となり、最初は戸惑う方も多いでしょう。
arccos x の積分公式は微分公式と密接に関連しており、微分の知識をしっかり押さえておくことが積分の理解にもつながります。
本記事では、arccos x の積分公式の導出から、部分積分を使った計算方法、具体的な例題と解答まで段階的に解説します。
また、arccos を含む様々なパターンの積分についても触れるため、数学Ⅲで逆三角関数の積分を学んでいる方、大学入試に向けて基礎を固めたい方にとって役立つ内容となっています。
ぜひ最後まで読んで、逆三角関数の積分を得意分野にしてください。
目次
アークコサインの積分公式の結論｜まず公式を確認
それではまず、アークコサインの積分公式の結論から解説していきます。
アークコサインの積分公式
∫arccos x dx = x·arccos x – √(1-x²) + C
（C は積分定数、定義域 -1 ≤ x ≤ 1）
この公式は部分積分法を用いて導くことができます。
公式の形を見ると、x·arccos x という積の形と√(1-x²)という平方根が登場するのが特徴です。
これはarccos xの微分が -1/√(1-x²) であることと深く関係しています。
アークサインの積分公式との比較
arccos x の積分と arcsin x の積分を比較しておきましょう。
∫arcsin x dx = x·arcsin x + √(1-x²) + C
∫arccos x dx = x·arccos x – √(1-x²) + C
二つの公式を比較すると、arcsin の場合は√(1-x²)に +、arccos の場合は – がついている点が異なります。
これは arcsin と arccos の微分の符号が逆であることに起因しています。
混同しないように、「arccos は減少関数 → 微分がマイナス → 積分もマイナスの符号」というイメージで記憶すると効果的です。
部分積分法の基本公式の確認
arccos x の積分公式を導出するためには、部分積分法の知識が不可欠です。
部分積分の公式
∫u(x)·v'(x) dx = u(x)·v(x) – ∫u'(x)·v(x) dx
この公式は「積の微分公式」を逆に使うことで得られます。
arccos x の積分では、arccos x を u、1 を v’ として部分積分を適用します。
アークコサインの積分公式の導出方法
続いては、部分積分を使った arccos x の積分公式の導出方法を確認していきます。
一歩一歩丁寧にトレースすることで、公式がどのように得られるかを理解しましょう。
部分積分を使った導出の詳細手順
【Step 1】 部分積分の設定
∫arccos x dx を計算するため
u = arccos x → u’ = -1/√(1-x²)
v’ = 1（= dx の係数） → v = x
【Step 2】 部分積分の公式を適用
∫arccos x · 1 dx = arccos x · x – ∫(-1/√(1-x²)) · x dx
= x·arccos x + ∫x/√(1-x²) dx
【Step 3】 ∫x/√(1-x²) dx を計算する
t = 1-x² とおくと dt = -2x dx より x dx = -dt/2
∫x/√(1-x²) dx = ∫(1/√t)·(-dt/2)
= -1/2 · ∫t^(-1/2) dt
= -1/2 · 2√t + C
= -√t + C
= -√(1-x²) + C
【Step 4】 まとめる
∫arccos x dx = x·arccos x + (-√(1-x²)) + C
= x·arccos x – √(1-x²) + C
この導出で使ったテクニックは「部分積分（Step 1〜2）」と「置換積分（Step 3）」です。
二つの積分テクニックを組み合わせることで公式が得られる、という流れをしっかり把握しましょう。
置換積分の計算を丁寧に確認する
Step 3で行った置換積分は特に重要で、∫x/√(1-x²) dx の計算がポイントです。
t = 1-x² と置換することで分母がシンプルな形になり、計算しやすくなります。
この置換は「分母の1-x²の微分が-2xであり、分子に x が存在する」ことを見抜いたことで実行できます。
分子と分母の関係に気づく力が、置換積分を上手く使いこなすための鍵です。
検算する方法｜微分して確かめよう
積分の結果が正しいかどうかは、微分して元の被積分関数に戻るかを確認することで検算できます。
【検算】 F(x) = x·arccos x – √(1-x²) を微分する
F'(x) = d/dx [x·arccos x] – d/dx [√(1-x²)]
第1項：積の微分より
arccos x + x · (-1/√(1-x²)) = arccos x – x/√(1-x²)
第2項：
d/dx [√(1-x²)] = (1/2)(1-x²)^(-1/2) · (-2x) = -x/√(1-x²)
よって
F'(x) = arccos x – x/√(1-x²) – (-x/√(1-x²))
= arccos x – x/√(1-x²) + x/√(1-x²)
= arccos x ✓
微分して arccos x に戻ることが確認でき、積分公式の正しさが検証されました。
このように、積分の計算後は微分で検算する習慣をつけておくと、ミスに気づきやすくなります。
アークコサインを含む積分の応用例
続いては、arccos を含む様々なパターンの積分について確認していきます。
基本公式の応用力を高めることで、入試問題にも対応できるようになります。
応用例1｜arccos(ax)の積分
【問題】 ∫arccos(2x) dx を計算せよ。
【解答】
t = 2x とおくと dt = 2 dx より dx = dt/2
∫arccos(2x) dx = ∫arccos t · (dt/2)
= (1/2)∫arccos t dt
= (1/2)(t·arccos t – √(1-t²)) + C
= (1/2)(2x·arccos(2x) – √(1-4x²)) + C
= x·arccos(2x) – (1/2)√(1-4x²) + C
応用例2｜定積分への応用
【問題】 ∫[0 to 1/2] arccos x dx を計算せよ。
【解答】
F(x) = x·arccos x – √(1-x²) とおくと
∫[0 to 1/2] arccos x dx = [F(x)]₀^(1/2)
= F(1/2) – F(0)
F(1/2) = (1/2)·arccos(1/2) – √(1-(1/2)²)
= (1/2)·(π/3) – √(3/4)
= π/6 – √3/2
F(0) = 0·arccos 0 – √(1-0) = 0 – 1 = -1
よって
∫[0 to 1/2] arccos x dx = (π/6 – √3/2) – (-1)
= π/6 – √3/2 + 1
定積分の計算では arccos の特定の値を正確に求める必要があります。
arccos(1/2) = π/3（60°）などの基本的な値は確実に覚えておきましょう。
逆三角関数の積分まとめ一覧
| 積分の形 | 積分公式 |
|---|---|
| ∫arcsin x dx | x·arcsin x + √(1-x²) + C |
| ∫arccos x dx | x·arccos x – √(1-x²) + C |
| ∫arctan x dx | x·arctan x – (1/2)ln(1+x²) + C |
| ∫1/√(1-x²) dx | arcsin x + C |
| ∫-1/√(1-x²) dx | arccos x + C |
| ∫1/(1+x²) dx | arctan x + C |
これらの公式は数学Ⅲの積分において頻繁に登場します。
特に ∫1/√(1-x²) dx = arcsin x + C および ∫-1/√(1-x²) dx = arccos x + C という公式は、逆三角関数の微分から直接得られるもので非常に重要です。
まとめ
本記事では、アークコサイン（arccos x）の積分公式について、導出方法から計算手順、応用例まで体系的に解説しました。
積分公式の結論は ∫arccos x dx = x·arccos x – √(1-x²) + C であり、部分積分（u = arccos x、v’ = 1）と置換積分（t = 1-x²）を組み合わせることで導出できます。
arcsin の積分との符号の違い（√(1-x²) の係数がプラスかマイナスか）は特に混同しやすいため、arccos が単調減少関数であることを意識して記憶することをお勧めします。
定積分への応用では arccos の特定値を正確に求める力も求められ、基本的な三角関数の値を覚えていることが前提になります。
部分積分と置換積分の組み合わせは、逆三角関数の積分だけでなく多くの場面で活躍する重要なテクニックです。
本記事を参考に、逆三角関数の積分を確実な武器にしてください。
