一般項の求め方は？公式や計算手順も！（数列・階差数列・漸化式・等差数列・等比数列・和から一般項など）

一般項の求め方の選択フロー

Step 1：数列の具体的な値が与えられている場合

→ 差 a_{n+1} − aₙ が一定？ → YES → 等差数列の公式

→ 比 a_{n+1}/aₙ が一定？ → YES → 等比数列の公式

→ 差の差（bₙ = a_{n+1} − aₙ）が等差または等比？ → YES → 階差数列

Step 2：漸化式が与えられている場合

→ a_{n+1} = aₙ + d → 等差型漸化式

→ a_{n+1} = r × aₙ → 等比型漸化式

→ a_{n+1} = p×aₙ + q → 特性方程式型

→ a_{n+2} = p×a_{n+1} + q×aₙ → 二項間漸化式（特性方程式）

Step 3：和Sₙが与えられている場合

→ aₙ = Sₙ − S_{n−1}（n≥2）、a₁ = S₁ を計算

階差数列を使った一般項の公式

数列 {aₙ} の階差数列 {bₙ}（bₙ = a_{n+1} − aₙ）がわかるとき：

n ≥ 2 のとき：

aₙ = a₁ + Σ_{k=1}^{n−1} bₖ = a₁ + b₁ + b₂ + … + b_{n−1}

（初項に、第1差から第(n−1)差までを加える）

注意：n = 1 のとき a₁ = a₁（式の検証が必要）

求めた式が n = 1 でも成立するかを必ず確認し、成立しない場合は「n = 1 のとき a₁ = ○○」と別書きする。

階差数列を使った一般項の求め方の例

数列 1, 3, 7, 13, 21, 31, … の一般項を求めよ。

Step 1：階差数列を求める

bₙ = a_{n+1} − aₙ：3−1=2, 7−3=4, 13−7=6, 21−13=8, 31−21=10

→ 階差数列は 2, 4, 6, 8, 10, …（公差2の等差数列）

bₙ = 2n（等差数列の一般項）

Step 2：aₙを求める（n ≥ 2 の場合）

aₙ = a₁ + Σ_{k=1}^{n−1} 2k = 1 + 2 × Σ_{k=1}^{n−1} k

= 1 + 2 × (n−1)n/2 = 1 + n(n−1) = n² − n + 1

Step 3：n = 1 の確認

n = 1：n² − n + 1 = 1 − 1 + 1 = 1 = a₁ ✓（n ≥ 1 で成立）

答え：aₙ = n² − n + 1

等差型・等比型漸化式の解法

等差型：a_{n+1} = aₙ + d → 等差数列 → aₙ = a₁ + (n−1)d

等比型：a_{n+1} = r × aₙ → 等比数列 → aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

特性方程式型漸化式の解法

a_{n+1} = paₙ + q （p ≠ 1）を解く。

Step 1：特性方程式 α = pα + q を解く → α = q/(1−p)

Step 2：aₙ − α = p(a_{n−1} − α)（等比数列に変換）

Step 3：bₙ = aₙ − α とおくと bₙ = pⁿ⁻¹ × b₁ = pⁿ⁻¹(a₁ − α)

Step 4：aₙ = α + (a₁ − α)pⁿ⁻¹

例：a_{n+1} = 3aₙ + 4、a₁ = 2 のとき

特性方程式：α = 3α + 4 → α = −2

aₙ − (−2) = 3(a_{n−1} − (−2))

bₙ = aₙ + 2 として bₙ = bₙ₋₁ × 3

b₁ = a₁ + 2 = 4 なので bₙ = 4 × 3ⁿ⁻¹

aₙ = 4 × 3ⁿ⁻¹ − 2

Sₙから一般項aₙを求める手順

n ≥ 2 のとき：aₙ = Sₙ − S_{n−1}

n = 1 のとき：a₁ = S₁（別途確認）

重要：n ≥ 2 で求めた式が n = 1 でも成立するか必ず確認すること。

成立しない場合は答えを場合分けする。

例：Sₙ = 2n² − 3n のとき

n ≥ 2：aₙ = Sₙ − S_{n−1} = (2n² − 3n) − (2(n−1)² − 3(n−1))

= 2n² − 3n − 2(n² − 2n + 1) + 3n − 3

= 2n² − 3n − 2n² + 4n − 2 + 3n − 3

= 4n − 5

n = 1 確認：S₁ = 2(1)² − 3(1) = −1 = a₁、4×1 − 5 = −1 ✓（n=1 でも成立）

答え：aₙ = 4n − 5（すべてのnで成立）