平方根の学習において、根号を簡単にできる数とできない数を見分けることは非常に重要なスキルです。その中でも18の平方根は、√12と並んで「簡単にできる代表例」として頻繁に登場する値なんですね。
「√18っていくつだっけ？」「そのまま√18って書いていいの？」こんな疑問を持ったことはありませんか。
18の平方根は、因数分解によって簡単な形に変形できる典型的な例です。√12が2√3になるように、√18にも美しい変形があります。この変形ができるかどうかは、数学の答案では非常に重要なポイントでしょう。
本記事では、18の平方根の正確な値から、簡単な形への変形方法、効果的な覚え方、実践的な計算方法まで、徹底的に解説していきます。√18を3√2に変形する過程を理解することは、平方根全般の理解を深める絶好の機会です。数学が得意な方もそうでない方も、ぜひ最後までお付き合いください。
目次
18の平方根の値とは？基本を完璧にマスターしよう
それではまず、18の平方根の基本的な値について解説していきます。
√18の正確な値と小数表示
18の平方根、つまり√18の値は約4.242640687119285という数値になります。
この数値も無理数であり、小数点以下が永遠に続いて循環しない性質を持っているんですね。そのため、完全に正確な値を小数で書き表すことは不可能です。
√18 ≒ 4.24264068…（無理数）
実際の計算では、必要な精度に応じて使用する桁数を決めます。一般的な問題では小数第2位から第3位程度、つまり4.24程度で覚えておけば十分でしょう。
ただし、√18には重要な特徴があります。それは根号の中身を簡単にできるという点なんです。この変形を理解することが、√18を扱う上で最も重要なポイントになります。
√18を簡単な形に変形する方法
√18の最大の特徴は、より簡潔な形に変形できること。これが他の多くの平方根と異なる重要なポイントです。
18を因数分解すると、18 = 9 × 2と表せますね。9は3²なので、これを利用して根号の外に出せるんです。
√18 = √(9×2) = √9 × √2 = 3√2
√18 = 3√2という形が最も簡単で美しい表現
√18 = 3√2という変形は、数学の問題を解く際に必須
のテクニックです。答案では√18のままにせず、3√2に変形することが求められるケースがほとんどでしょう。
実際、3√2という形にすれば、√2 ≒ 1.414を知っていれば、3 × 1.414 ≒ 4.242と計算できます。これは√18の小数値とほぼ一致しますね。
周辺の平方根との比較で位置を理解
√18の大きさを直感的に理解するため、周辺の平方根と比較してみましょう。
| 平方根 | 簡単な形 | 近似値 |
|---|---|---|
| √16 | 4 | 4.00 |
| √17 | √17 | 約4.123 |
| √18 | 3√2 | 約4.243 |
| √19 | √19 | 約4.359 |
| √20 | 2√5 | 約4.472 |
| √25 | 5 | 5.00 |
この表から、√18は4と5のちょうど中間よりやや4寄りに位置することが分かるでしょう。また、√18 = 3√2という形で表せることが特徴です。
√17と√19は簡単にできませんが、√18は3√2に、√20は2√5に変形できます。このように、簡単にできる数とできない数が混在しているんですね。
18の平方根の覚え方と語呂合わせ
続いては、√18や3√2を効率的に記憶するための方法を確認していきます。
3√2という形で覚える重要性
√18を記憶する際、最も重要なのは√18 = 3√2という変形を覚えることです。
この変形を覚えておけば、√18の小数値は√2の値から導き出せます。√2 ≒ 1.414という有名な値を知っていれば、3倍して約4.242と計算できるんですね。
√2 ≒ 1.414（ヒトヨヒトヨニ）
√18 = 3√2 ≒ 3 × 1.414 = 4.242
重要：√18は常に3√2に変形してから計算する習慣を
この習慣をつけることで、計算ミスが減り、答案の見た目も美しくなります。特に数学の答案では、簡単な形に変形していないと減点される場合もあるため要注意でしょう。
√18の小数値を覚える語呂合わせ
どうしても小数値を覚えたい場合、語呂合わせも存在します。√18の代表的な語呂合わせが「ヨニヨニロク」というものなんですね。
4.2426… → ヨ(4)ニ(2)ヨ(4)ニ(2)ロク(6)
語呂：「ヨニヨニロク（夜に夜に六）」
「4、2、4、2」という繰り返しのパターンが印象的で覚えやすいかもしれません。ただし、実用的には3√2という形で覚えておく方がはるかに有用でしょう。
より簡略化して「ヨニヨニ」（4.24.2）と覚える方法もあります。4.24程度まで覚えていれば、ほとんどの用途には十分です。
因数分解のパターンで理解する
√18を3√2に変形する過程を、パターンとして理解しておきましょう。
18を様々な形で因数分解できますが、平方数を見つけることが鍵です。
18 = 2 × 9 → 9 = 3²なので活用
18 = 3 × 6 → どちらも平方数でない
18 = 1 × 18 → 1 = 1²だが意味がない
このように、18 = 9 × 2という因数分解が最も有効なんですね。9が最大の平方数だからです。
同様のパターンは他の数でも見られます。
√12 = √(4×3) = 2√3
√20 = √(4×5) = 2√5
√27 = √(9×3) = 3√3
√32 = √(16×2) = 4√2
√50 = √(25×2) = 5√2
こうしたパターンを理解すれば、√18 = 3√2という変形も自然に導き出せるでしょう。
18の平方根の計算方法を習得しよう
ここからは、√18を実際に求める具体的な計算方法について見ていきます。
因数分解による簡単化の手順
√18を簡単にする最も基本的な方法は、因数分解を利用することです。この方法は必ずマスターしておきましょう。
手順1：18を因数分解する
18 = 2 × 9 = 2 × 3²
手順2：平方数を見つける
9 = 3²なので、これを利用
手順3：根号の外に出す
√18 = √(9×2) = √9 × √2 = 3√2
この一連の流れを理解すれば、他の平方根でも同様の手順で簡単化できるんですね。
別のアプローチとして、素因数分解を完全に行う方法もあります。
18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
√18 = √(2 × 3²) = 3√2
因数分解→平方数を探す→根号の外に出す
という3ステップを確実に身につけましょう。
ニュートン法による小数値の計算
√18の小数値を精密に求めたい場合、ニュートン法が有効です。
√18を求める問題は、x² = 18を満たすxを見つける問題として考えられます。
初期値 x₀ = 4.2（おおよその推測値）とする
次の近似値を計算：x₁ = (x₀ + 18/x₀) / 2
x₁ = (4.2 + 18/4.2) / 2
x₁ = (4.2 + 4.286) / 2 ≒ 4.243
わずか1回の計算で、既に小数第3位まで正確な値が得られました。
ただし、実用的には√18 = 3√2と変形し、√2 ≒ 1.414を3倍する方が簡単でしょう。
√18 = 3√2 ≒ 3 × 1.414 = 4.242
この方法なら、√2の値さえ覚えていれば、√18の近似値もすぐに求められます。
電卓での確認と実践的アプローチ
電卓を使って√18を求める方法も見てみましょう。
一般的な電卓では、「18」を入力してから「√」ボタンを押すだけ。結果として4.2426406…という値が表示されるはずです。
Excelなどの表計算ソフトでは「=SQRT(18)」という関数を使用しますね。
電卓：18 → √ → 4.2426406…
Excel：=SQRT(18) → 4.2426406…
ただし、数学の答案では電卓で求めた小数値ではなく、3√2という形で答えることが重要でしょう。
検算の際には、3√2を計算して18に戻ることを確認すると良いですね。
(3√2)² = 3² × (√2)² = 9 × 2 = 18 ✓
この逆算による確認で、√18 = 3√2が正しいことが分かります。
18の平方根を含む計算と応用
最後に、√18を含む様々な計算例と実践的な応用について確認していきます。
√18を含む四則演算
√18が3√2であることを利用すれば、様々な計算がシンプルになります。
まず、√18同士の計算を見てみましょう。
例1：√18 + √18 = 2√18 = 2 × 3√2 = 6√2
例2：3√18 – √18 = 2√18 = 6√2
例3：√18 × √18 = 18
例4：√18 × 2√18 = 2 × 18 = 36
次に、他の根号との計算を確認しましょう。
例5：√18 + √2 = 3√2 + √2 = 4√2
例6：√18 – √8 = 3√2 – 2√2 = √2
例7：√18 × √2 = 3√2 × √2 = 3 × 2 = 6
例8：√18 ÷ √2 = 3√2 ÷ √2 = 3
まず3√2に変形してから計算を進める
ことで、計算がスムーズに進むことが分かるでしょう。
方程式や図形問題での応用
√18の知識は、方程式や図形問題を解く際にも重要です。
例えば、次のような二次方程式を考えてみましょう。
x² = 18
x = ±√18 = ±3√2
また、三平方の定理を使った問題でも頻出します。
直角三角形の2辺が3と3のとき、斜辺をcとすると
c² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18
c = √18 = 3√2
このように、正方形の対角線や直角二等辺三角形の斜辺で√18が登場することが多いんですね。
特に、一辺が3の正方形の対角線は3√2となります。これは非常に重要なパターンでしょう。
一辺aの正方形の対角線 = a√2
一辺3の正方形の対角線 = 3√2 = √18
分母の有理化と√18の応用
分母に√18が含まれる場合は、有理化という操作を行います。
例1：1/√18を有理化する
まず√18を3√2に変形
1/(3√2)
分母分子に√2をかける
= √2/(3√2×√2) = √2/(3×2) = √2/6
別のアプローチも見てみましょう。
例2：6/√18を有理化する
6/(3√2) = 2/√2
= (2√2)/(√2×√2) = 2√2/2 = √2
より複雑な例も確認しましょう。
例3：1/(1+√18)を有理化する
まず√18を3√2に変形
1/(1+3√2)
分母分子に(1-3√2)をかける
= (1-3√2)/{(1+3√2)(1-3√2)}
= (1-3√2)/(1-18)
= (1-3√2)/(-17) = (3√2-1)/17
√18を3√2に変形することで、有理化の計算も効率的に
なるんですね。
また、√18/3 = √2という簡単化も覚えておくと便利でしょう。
まとめ
18の平方根について、基本的な性質から応用まで詳しく解説してきました。
√18 ≒ 4.243という小数値も重要ですが、何より覚えておくべきは√18 = 3√2という簡単な形でしょう。この変形は数学の問題を解く上で必須のテクニックです。
計算方法としては、18を9 × 2に因数分解し、平方数である9を根号の外に出すという基本手順をマスターすることが大切。この考え方は、他の平方根を簡単にする際にも応用できる普遍的な方法なんですね。
また、√2の値（約1.414）を覚えておけば、それを3倍することで√18の近似値も簡単に求められます。「ヒトヨヒトヨニ」という√2の語呂合わせを活用すれば、√18の値も記憶しやすいでしょう。
実際の計算では、√18を常に3√2に変形してから計算する習慣をつけることが重要です。同じ根号同士の計算、有理化、式の整理など、あらゆる場面でこの変形が活きてきます。
さらに、一辺3の正方形の対角線が3√2 = √18になるという幾何学的な意味も理解しておくと、図形問題での応用力が高まるはずです。
平方根を簡単にできるかどうかの判断力は、数学の実力を示す重要な要素。√18 = 3√2という変形を通じて、平方根の本質的な理解を深めてください。本記事で学んだ内容を、ぜひ今後の数学学習に活かしていただければ幸いです。
