不確かさの伝播則とは？公式や計算方法も！（合成標準不確かさ：偏微分：誤差伝播との違いなど）

測定値や計算結果を扱う場面では、数値そのものだけでなく、その数値がどの程度の幅をもつのかを示す必要があります。

その幅を合理的に評価する考え方が測定不確かさであり、複数の入力値から計算した結果へ不確かさがどう影響するかを示す考え方が不確かさの伝播則です。

品質管理、校正、研究開発、検査成績書の作成では、単純な誤差の足し算では判断できないケースも少なくありません。

合成標準不確かさ、偏微分、感度係数の意味を順に理解すると、伝播則の計算は整理しやすくなります。

不確かさの伝播則の意味

それではまず、不確かさの伝播則について解説していきます。

計算結果に不確かさを反映する考え方

不確かさの伝播則とは、複数の測定値や定数を用いて計算した結果について、入力値に含まれる不確かさが最終結果へどのように影響するかを求める方法です。

たとえば長さと幅を測定して面積を計算する場合、面積の不確かさは長さの不確かさだけで決まりません。

幅の測定値のばらつき、測定器の校正情報、読み取り分解能なども結果に関係します。

入力量を記号で表し、出力量をそれらの関数として扱う点が重要です。

出力量をY、入力量をX₁、X₂、X₃とすると、Yはそれぞれの入力量から求める計算値になります。

伝播則は、最終的な数値の信頼性を説明するための計算ルールと考えると理解しやすいでしょう。

測定不確かさと誤差の位置づけ

不確かさと誤差は似た言葉ですが、実務では区別して扱います。

誤差は測定値と真の値との差を指しますが、真の値は通常は完全には分かりません。

一方の不確かさは、合理的に利用できる情報をもとに、測定量に付随する値の散らばりを表す指標です。

つまり、不確かさは未知の真値との差を直接示すものではなく、測定結果をどの程度信頼して扱えるかを数量化するものです。

誤差伝播という表現は古くから広く使われていますが、現在の計量管理では不確かさの伝播として整理する場面が増えています。

用語	主な意味	実務での扱い
誤差	測定値と真の値との差	真の値が分からない場合は直接評価しにくい
標準不確かさ	標準偏差と同じ単位で表した不確かさ	各要因を共通の尺度で比較できる
合成標準不確かさ	複数要因を統合した標準不確かさ	伝播則により算出する
拡張不確かさ	包含係数を掛けて広げた不確かさ	校正証明書や報告書で用いることが多い

不確かさの伝播則が必要になる場面

伝播則が必要になる代表例には、密度、流量、抵抗率、濃度、体積、面積、比率などの算出があります。

複数の測定値から計算する量では、各入力値の不確かさを無視すると、結果の信頼性を適切に説明できません。

たとえば円柱の体積は直径と高さから求めますが、直径は二乗で影響します。

そのため、直径のわずかな不確かさでも、体積の結果には相対的に大きく反映されることがあります。

どの入力値が結果へ強く影響するかを見つけられる点も、伝播則を使う大きな利点です。

不確かさの伝播則では、入力値の不確かさの大きさだけでなく、計算式の形も重要になります。

足し算、掛け算、二乗、指数関数などでは、最終値への影響の仕方が異なります。

合成標準不確かさの公式

続いては、合成標準不確かさの公式を確認していきます。

独立した入力量の基本式

出力量Yが複数の入力量から求められ、各入力量が互いに独立している場合、合成標準不確かさは二乗和平方根で表します。

入力量ごとの標準不確かさに感度係数を掛け、それぞれを二乗して合計し、最後に平方根を取る流れです。

u_c（Y）＝√｛（∂f／∂X₁）²u²（X₁）＋（∂f／∂X₂）²u²（X₂）＋…｝

u_c（Y）は合成標準不確かさ、u（X）は各入力量の標準不確かさを表します。

この公式に含まれる∂f／∂Xは偏微分であり、入力量が少し変化したときに出力量がどの程度変化するかを示します。

偏微分の値は感度係数とも呼ばれ、伝播計算の中心となる要素です。

不確かさを単純に合計するのではなく、感度係数を考慮して二乗和平方根で統合することが基本です。

相関がある場合の計算式

入力量どうしに相関がある場合は、基本式だけでは十分ではありません。

たとえば同じ温度計で複数箇所を測定した場合、校正のずれが共通して影響する可能性があります。

このような関係を無視すると、不確かさを過小評価または過大評価するおそれがあります。

相関がある場合には、共分散または相関係数を含む項を追加します。

u_c²（Y）＝Σc_i²u²（X_i）＋2Σc_ic_ju（X_i）u（X_j）r（X_i,X_j）

cは感度係数、rは入力量間の相関係数です。

相関係数が正なら不確かさを押し上げる方向に働くことがあり、負なら一部が相殺される場合もあります。

ただし、相殺を期待して根拠のない相関設定をすることは適切ではありません。

共通の標準器、同一の環境条件、共通の演算処理などを確認し、相関の有無を記録する姿勢が求められます。

拡張不確かさとの関係

合成標準不確かさは、標準偏差に相当する尺度で表した値です。

検査成績書や校正証明書では、利用者にとって分かりやすい範囲として拡張不確かさを示すことがあります。

拡張不確かさは、合成標準不確かさに包含係数kを掛けて求めます。

U＝k×u_c（Y）

Uは拡張不確かさ、kは包含係数です。

正規分布を前提におおむね95パーセント程度の包含確率を意図する場合、k＝2が使われることがあります。

ただし、常にk＝2でよいとは限りません。

有効自由度、分布の種類、報告目的を踏まえて決める必要があります。

合成標準不確かさと拡張不確かさは同じものではないため、報告書では記号と包含係数を明確にします。

偏微分と感度係数の基礎

続いては、偏微分と感度係数の基礎を確認していきます。

偏微分が示す変化の大きさ

偏微分は、複数の変数を含む式のうち、一つの変数だけを変化させたときの出力の変化率です。

不確かさの伝播則では、入力値が少し変わった場合に結果がどれほど動くかを数値化する役割を担います。

たとえばY＝A＋Bなら、Aに対する感度係数は1、Bに対する感度係数も1です。

一方でY＝A×Bなら、Aに対する感度係数はB、Bに対する感度係数はAになります。

計算式の構造が変わると、同じ標準不確かさでも寄与の大きさが変わる理由はここにあります。

計算式	入力量	感度係数	特徴
Y＝A＋B	A	1	Aの変化がそのままYへ反映
Y＝A－B	B	－1	符号は変わるが二乗和では寄与を評価
Y＝A×B	A	B	相手側の値により影響度が変化
Y＝A／B	B	－A／B²	分母が小さいほど影響が大きくなる
Y＝A²	A	2A	Aが大きいほど絶対不確かさも増えやすい

感度係数による寄与率の確認

感度係数と各標準不確かさを掛けた値は、不確かさの寄与を比較するために役立ちます。

この値が大きい要因ほど、最終結果の不確かさに強く影響していると判断できます。

改善活動では、すべての要因を同じ程度に改善する必要はありません。

寄与率の大きい要因から対策することで、測定工程の効率を高められます。

不確かさバジェットは、改善の優先順位を見える化する資料としても有効です。

たとえば繰り返し測定のばらつきよりも温度補正の不確かさが大きいなら、測定回数だけを増やしても全体改善は限定的でしょう。

環境温度の監視、熱膨張係数の見直し、恒温化などを検討する方が効果的な場合があります。

線形近似が使える範囲

偏微分を用いる伝播則は、入力量の変動が十分に小さく、出力関数を測定点の近くで線形近似できることを前提にしています。

通常の寸法測定や電気計測では、この近似で実用上十分な精度が得られる場面が多いでしょう。

しかし、非線形性が強い式、分母がゼロに近づく式、入力分布が大きくゆがむ式では注意が必要です。

そのような場合は、数値シミュレーションやモンテカルロ法を用いて出力分布を推定する方法も検討します。

偏微分による伝播則は便利ですが、すべての計算に機械的に当てはめるものではありません。

入力値の分布、相関、非線形性を確認したうえで、近似の妥当性を判断します。

不確かさバジェットの作成手順

続いては、不確かさバジェットの作成手順を確認していきます。

測定モデルと入力量の洗い出し

不確かさ評価は、最初に測定モデルを明確にすることから始まります。

測定したい量をどのような式で求めるのかを決め、式に含まれる入力量をすべて洗い出します。

ノギスによる寸法測定であれば、読み取り値だけでなく、校正値、分解能、繰り返し性、温度影響、測定圧などが候補になります。

必要な要因を漏れなく抽出するには、測定手順、使用機器、環境条件、計算シートを順に確認すると効果的です。

測定モデルが曖昧なまま数式だけを計算しても、信頼できる不確かさ評価にはつながりません。

タイプA評価とタイプB評価

不確かさの評価方法は、一般にタイプA評価とタイプB評価に分けて整理します。

タイプA評価は、繰り返し測定の統計解析によって求める方法です。

平均値、標準偏差、標準偏差の平均などを用いて、ばらつきを標準不確かさへ換算します。

タイプB評価は、校正証明書、仕様書、過去データ、分解能、経験的知識などを利用して評価する方法です。

タイプBは主観的という意味ではなく、利用可能な根拠を合理的に評価する方法です。

評価区分	主な情報源	評価例	注意点
タイプA	繰り返し測定データ	測定値の標準偏差	測定回数と測定条件を記録する
タイプB	校正証明書	標準器の拡張不確かさ	包含係数を確認する
タイプB	機器の分解能	最小表示の半分を一様分布で換算	読み取り方法に合わせる
タイプB	環境条件	温度変動による補正量	測定時間中の実態を反映する

一様分布を仮定する場合、半幅をaとすると標準不確かさはaを√3で割った値になります。

三角分布や正規分布を仮定する場合は換算係数が変わるため、分布の選択根拠を残すことが大切です。

不確かさバジェット表の整理

不確かさバジェットとは、各不確かさ要因、標準不確かさ、感度係数、寄与量などを一覧化した表です。

計算根拠を第三者が確認しやすくなり、再評価や監査への対応もしやすくなります。

表には単位をそろえて記載し、入力量の不確かさと出力量への寄与を混同しないよう注意します。

不確かさ要因	標準不確かさ	感度係数	寄与量	評価方法
繰り返し性	0.004 mm	1	0.004 mm	タイプA
校正	0.006 mm	1	0.006 mm	タイプB
分解能	0.003 mm	1	0.003 mm	タイプB
温度影響	0.002 mm	1	0.002 mm	タイプB

バジェット表は単なる提出資料ではなく、測定システムの弱点を把握するための管理表です。

計算方法と具体例

続いては、不確かさの伝播則を使う計算方法と具体例を確認していきます。

足し算と引き算の計算例

長さAと長さBを加えて全長Yを求める場合を考えます。

A＝100.000 mm、B＝50.000 mmであり、それぞれの標準不確かさを0.010 mm、0.008 mmとします。

Y＝A＋Bであるため、AとBの感度係数はいずれも1です。

入力量が独立していると仮定すると、合成標準不確かさは次のように求めます。

u_c（Y）＝√｛0.010²＋0.008²｝

u_c（Y）＝0.0128 mm程度

この場合の計算結果は150.000 mmであり、合成標準不確かさはおよそ0.013 mmです。

包含係数を2とする場合、拡張不確かさは約0.026 mmになります。

報告上は、150.000 mm±0.026 mmのように表すことがありますが、包含係数と包含確率の記載も併せて確認します。

掛け算による面積の計算例

長方形の面積Sを、長さLと幅Wから求める例を見てみましょう。

L＝100.0 mm、W＝20.0 mm、Lの標準不確かさを0.1 mm、Wの標準不確かさを0.05 mmとします。

面積はS＝L×Wです。

Lに対する感度係数はW、Wに対する感度係数はLとなります。

u_c（S）＝√｛W²u²（L）＋L²u²（W）｝

u_c（S）＝√｛20.0²×0.1²＋100.0²×0.05²｝

計算すると、面積の合成標準不確かさは約5.4 mm²となります。

ここで注目したいのは、幅の標準不確かさは長さより小さいにもかかわらず、感度係数が100であるため大きく寄与する点です。

入力値の不確かさだけを見るのではなく、感度係数を掛けた寄与量で比較する必要があります。

相対不確かさを使う考え方

掛け算、割り算、べき乗を含む計算では、相対不確かさを使うと理解しやすい場合があります。

相対標準不確かさは、標準不確かさを測定値で割った値です。

たとえば密度は質量を体積で割って求めるため、質量と体積の相対不確かさが結果へ関係します。

ただし、相対不確かさの簡略式は条件によって使い方が変わります。

複雑な補正項、相関、非線形性が含まれる場合は、測定モデルから感度係数を求める基本手順へ戻る方が安全です。

計算が簡単に見えるケースでも、単位の統一、包含係数の扱い、相関の有無を確認します。

とくに校正証明書に記載された値が拡張不確かさなのか標準不確かさなのかは、必ず確認したい項目です。

誤差伝播との違いと実務上の注意点

続いては、誤差伝播との違いと実務上の注意点を確認していきます。

誤差伝播と不確かさ伝播の違い

誤差伝播は、各測定値の誤差が計算結果へどう影響するかを考える表現です。

理論計算や近似計算の説明では便利ですが、真の値が未知である測定の現場では扱いにくい面があります。

不確かさの伝播では、利用可能な情報から各入力量の標準不確かさを評価し、それらを統計的な考え方で統合します。

したがって、測定の信頼性を文書化し、校正や品質保証へつなげる目的には、不確かさの枠組みが適しています。

誤差をなくすことと、不確かさを評価することは別の取り組みです。

よくある計算ミス

よくあるミスの一つは、拡張不確かさをそのまま合成することです。

原則として、まず各要因を標準不確かさへ換算し、その後に合成標準不確かさを計算します。

もう一つは、単位を混在させることです。

mmとμm、摂氏温度とケルビン、百分率と小数値などが混ざると、計算結果が大きく誤ります。

さらに、分解能をそのまま標準不確かさとして扱うことも注意が必要です。

分解能が示す範囲と分布の仮定を確認し、適切な除数で換算します。

注意点	起こりやすい問題	確認方法
拡張不確かさの混在	合成値が必要以上に大きくなる	kの値を確認して標準不確かさへ換算
単位の不統一	桁違いの計算結果になる	計算前に単位を統一
相関の見落とし	過小評価や過大評価につながる	共通要因を洗い出す
丸めの早過ぎ	途中計算の精度が落ちる	最終表示の段階で丸める