循環小数とは？分数に直す方法や表し方の記号は？【有理数はなぜ：無理数：一覧や裏技も：1/7：0.135など】

数学を学んでいると、割り切れない小数に出会うことがよくあります。例えば1÷3を計算すると0.333…と3が永遠に続きますよね。このように同じ数字や数字の並びが規則的に繰り返される小数を循環小数と呼びます。

循環小数は一見複雑に見えますが、実は分数で表せる「有理数」の一種なのです。では、なぜ有理数は循環小数になるのでしょうか？また、循環小数を分数に戻すにはどうすればよいのでしょうか。

本記事では、循環小数の基本的な概念から表記方法、分数への変換テクニック、さらには有理数と無理数の違いまで、具体例を交えながら丁寧に解説していきます。1/7や0.135のような具体的な数値も取り上げ、実践的な計算方法もご紹介しますので、ぜひ最後までお読みください。

循環小数の定義と基本的な性質

それではまず、循環小数とは何かについて解説していきます。

循環小数とは、小数点以下のある桁から同じ数字や数字の並びが無限に繰り返される小数のことです。この繰り返される部分を「循環節」と呼びます。

循環小数には大きく分けて2つのタイプがあります。1つ目は純循環小数で、小数第一位から循環が始まるもの。2つ目は混循環小数で、循環しない部分があった後に循環が始まるものです。

循環小数の表記方法と記号

循環小数を表記する際には、繰り返される部分を示す特別な記号を使用します。最も一般的なのがドット記法で、循環節の最初と最後の数字の上に点を打つ方法です。

また、循環節を括弧で囲む表記方法もあります。例えば0.333…は0.(3)、0.142857…は0.(142857)と書くことができるでしょう。この表記法は手書きの際に便利です。

純循環小数と混循環小数の違い

純循環小数は小数第一位から直ちに循環が始まるタイプです。例えば1÷3=0.333…や1÷9=0.111…がこれに当たります。

一方、混循環小数は循環しない部分が先にあり、その後で循環が始まります。例えば1÷6=0.1666…では、0.1の部分が循環せず、その後の6が繰り返されます。

種類	特徴	具体例
純循環小数	小数第一位から循環開始	0.333…, 0.272727…
混循環小数	循環しない部分の後に循環開始	0.1666…, 0.58333…

循環小数が生まれる仕組み

なぜ循環小数が生まれるのでしょうか。それは割り算における余りのパターンが有限であることに起因します。

例えば1÷7を筆算で計算してみると、余りは必ず1、2、3、4、5、6のいずれかになります。7で割る限り、余りは最大でも6通りしかありません。そのため、ある時点で必ず同じ余りが再び現れ、その瞬間から同じ計算の繰り返しになるのです。

循環小数を分数に直す方法

続いては、循環小数を分数に変換する方法を確認していきます。

循環小数は必ず分数で表すことができます。ここでは実践的な変換テクニックを、純循環小数と混循環小数に分けて説明しましょう。

純循環小数の分数変換

純循環小数を分数に直す方法は比較的シンプルです。循環節を分子に、循環節の桁数だけ9を並べたものを分母にするという規則があります。

この方法の理由を数学的に説明すると、例えばx=0.333…とおいた場合、10x=3.333…となります。この2つの式の差を取ると10x-x=3となり、9x=3、つまりx=3/9=1/3が導かれるわけです。

混循環小数の分数変換

混循環小数の場合は少し複雑になりますが、基本的な考え方は同じです。循環しない部分と循環する部分を分けて考える必要があります。

別の方法として、等式を利用する方法もあります。x=0.1666…とおき、10x=1.666…、100x=16.666…として、適切に引き算することで分数を導き出せるでしょう。

1/7など具体的な分数の循環小数

1/7は循環小数の代表例として有名です。実際に計算してみると、1/7=0.142857142857…となり、142857という6桁の数字が繰り返されます。

興味深いことに、1/7、2/7、3/7、4/7、5/7、6/7はすべて同じ6つの数字142857を使った循環小数になります。ただし、循環の開始位置が異なるのです。

分数	循環小数	循環節
1/7	0.142857…	142857
2/7	0.285714…	285714
3/7	0.428571…	428571
1/6	0.1666…	6（混循環）

このような規則性を見つけることで、計算がより効率的になりますね。

有理数と無理数の関係

続いては、有理数と無理数の違いについて確認していきます。

循環小数を理解する上で欠かせないのが、有理数と無理数の概念です。この2つは実数を構成する重要な要素であり、循環小数は有理数に分類されます。

有理数が循環小数になる理由

有理数とは、2つの整数の比（分数）で表せる数のことです。そして重要なのが、すべての有理数は有限小数または循環小数として表されるという事実でしょう。

なぜ有理数が必ず循環小数（または有限小数）になるのでしょうか？その理由は割り算の性質にあります。分数a/bを小数に変換する際、aをbで割り続けますが、余りはb-1種類しかありません。

したがって、割り算を続けていくと必ず同じ余りが再び現れます。同じ余りが現れた瞬間から、まったく同じ計算が繰り返されるため、循環が始まるのです。余りが0になれば有限小数で終わり、0にならなければ循環小数になります。

無理数は循環しない小数

一方、無理数は分数で表すことができない数であり、小数で表すと循環しない無限小数になります。代表的な無理数には√2、√3、円周率π、自然対数の底eなどがあるでしょう。

無理数が循環しないことは、背理法によって証明できます。もし無理数が循環小数だったとすると、それは分数で表せることになり、有理数になってしまうという矛盾が生じるのです。

有理数と無理数の判別方法

ある数が有理数か無理数かを判別するには、いくつかの方法があります。

判別ポイント	有理数	無理数
分数表記	可能	不可能
小数表記	有限小数または循環小数	循環しない無限小数
平方根	完全平方数の平方根	完全平方数でない正の整数の平方根
具体例	0.5、0.333…、√4	√2、π、e

特に平方根の場合、√4=2、√9=3のように整数になるものは有理数ですが、√2、√3、√5など完全平方数でない数の平方根は無理数となります。

循環小数の実践的な計算テクニック

続いては、循環小数に関する実践的な計算方法を確認していきます。

ここでは試験や日常で使える便利な裏技や、よく出題される循環小数の一覧をご紹介しましょう。

覚えておくと便利な循環小数一覧

頻出する循環小数を覚えておくことで、計算スピードが格段に上がります。特に分数と循環小数の対応関係を暗記しておくと便利でしょう。

分数	循環小数	備考
1/3	0.333…	最も基本的
2/3	0.666…	1/3の2倍
1/6	0.1666…	混循環小数
1/7	0.142857…	6桁の循環
1/9	0.111…	1の繰り返し
1/11	0.090909…	09の繰り返し

これらの基本パターンを知っていれば、倍数の計算も容易になります。例えば2/9=0.222…、3/9=0.333…というように推測できるでしょう。

素早く分数変換する裏技

循環小数を素早く分数に変換する裏技がいくつかあります。

特に10倍法は汎用性が高く、混循環小数にも対応できます。適切な倍数を選んで引き算することで、循環部分を消去できるのがポイントです。

0.135などの具体例で実践

0.135という数値を見てみましょう。これは有限小数なのか循環小数なのか、まず判別が必要です。

もし0.135が有限小数であれば、これは135/1000=27/200という分数になります。一方、0.135135135…と循環する場合は、135/999=5/37となるでしょう。

このように、表記によって意味が大きく変わるため、循環小数であることを明示する記号（ドットや括弧）が重要になります。数学の問題では必ず循環部分が明示されているはずなので、しっかり確認しましょう。

まとめ

循環小数は、同じ数字や数字の並びが規則的に繰り返される小数であり、すべて分数（有理数）で表すことができます。循環節の上に点を打つか、括弧で囲むことで循環部分を明示するのが一般的な表記法です。

純循環小数を分数に変換する際は、循環節を分子に、桁数分の9を並べたものを分母にする方法が便利でしょう。混循環小数の場合は、循環しない部分を考慮した計算が必要になります。1/7=0.142857…のように、分数から循環小数への変換も、筆算で確認することで理解が深まります。

有理数が必ず循環小数（または有限小数）になる理由は、割り算における余りのパターンが有限であることに由来します。一方、無理数は分数で表せず、循環しない無限小数となるのが特徴です。

よく出る循環小数のパターンを覚えておくことで、計算効率が大幅に向上します。特に1/3、1/6、1/7、1/9、1/11などの基本的な分数と対応する循環小数は、暗記しておく価値があるでしょう。

循環小数の理解は、有理数・無理数の概念を深め、数学全体の理解につながる重要なテーマです。本記事で紹介した変換テクニックや裏技を活用し、実践的な計算力を身につけてください。