数学の問題を解いていると、√45という平方根に出会うことがありますよね。この値は一体いくつになるのか、また簡単な形に直すことはできるのか。受験勉強や資格試験の準備をしている方にとって、平方根の計算は避けて通れない重要なテーマでしょう。
今回は45の平方根の値や計算方法、覚えやすい語呂合わせについて、基礎から応用まで幅広く解説していきます。数学が苦手な方でも理解できるよう、丁寧に説明していきますので、ぜひ最後までお付き合いください。
目次
45の平方根の値はいくつ？【正確な値と近似値】
それではまず、45の平方根の値について解説していきます。
√45の正確な値は無理数であり、小数で表すと循環しない無限小数となります。電卓で計算すると、約6.708203932499369…と続いていくのです。
実用的な場面では、以下のような近似値がよく使われます。
| 小数点以下の桁数 | 近似値 |
|---|---|
| 小数第1位まで | 6.7 |
| 小数第2位まで | 6.71 |
| 小数第3位まで | 6.708 |
| 小数第4位まで | 6.7082 |
中学数学や高校数学の試験では、小数第2位または第3位までの近似値を求められることが多いでしょう。したがって、√45 ≈ 6.71 または √45 ≈ 6.708 と覚えておくと便利です。
ただし、数学的には√45をそのまま使うよりも、簡単な形に変形して扱う方が一般的。次の章では、その変形方法について詳しく見ていきます。
45の平方根を簡単にすると？【因数分解による変形】
続いては、√45を簡単な形に変形する方法を確認していきます。
平方根を簡単にするには、根号の中の数を因数分解することがポイントです。45という数を素因数分解してみましょう。
√45 = √(9 × 5) = √9 × √5 = 3√5
この変形により、√45は3√5という形で表せます。これが最も簡単な形であり、数学の答案ではこの形で書くのが一般的でしょう。
なぜこの形が「簡単」なのか。それは根号の中に平方数(1, 4, 9, 16, 25…)が含まれなくなったからです。√5の中の5は、これ以上因数分解しても平方数を取り出せません。
別の角度から見ると、45を異なる形で因数分解することもできます。
45 = 5 × 9 でも 45 = 15 × 3 でも同じですが、√45 = √(9 × 5) の分解が最も効率的です。
なぜなら、9 = 3² という完全平方数が含まれているからです。
このように因数分解の仕方によって、平方根の簡単化の効率が変わってくるのです。常に最大の平方数を見つけ出すことを意識すると良いでしょう。
45の平方根の計算方法は？【筆算と電卓の活用】
続いては、√45の計算方法について詳しく確認していきます。
平方根を求める方法は大きく分けて3つあります。それぞれの特徴を見ていきましょう。
方法1:筆算による開平法
昔ながらの方法として、筆算で平方根を求める「開平法」があります。ただし、この方法は手順が複雑で時間がかかるため、現代ではあまり使われません。
方法2:電卓を使う方法
最も簡単で正確なのが電卓の使用です。√ボタンを押してから45を入力するか、45を入力してから√ボタンを押せば、すぐに答えが表示されるでしょう。
45 → √ → 6.708203932…
方法3:近似値から推定する方法
電卓がない場合、既知の平方根から推定することもできます。
| 数値 | 平方根 |
|---|---|
| 36 | 6 |
| 45 | ? |
| 49 | 7 |
45は36と49の間にあるため、√45は6と7の間の値になります。より正確には、45は36に近いので、√45は6に近い値、つまり6.7程度だと推測できるのです。
さらに精密に求めたい場合は、ニュートン法などの数値計算手法を使いますが、これは高度な数学の範囲になるでしょう。
3√5の値はいくつ？【√5との関係】
続いては、√45を簡単にした形である3√5の値について確認していきます。
先ほど√45 = 3√5と変形できることを学びました。では3√5の値はいくつになるのか。
まず、√5の値を知る必要があります。√5は約2.236という値です。
3√5 = 3 × √5 ≈ 3 × 2.236 = 6.708
この計算結果は、先ほど求めた√45の近似値と一致していますね。これは当然のことで、√45と3√5は同じ値を表しているからです。
√45 = 3√5 ≈ 6.708この関係性をしっかり理解しておくことが重要です。
実際の計算問題では、3√5の形で答えることも多いでしょう。なぜなら、この形の方が正確で、さらなる計算に使いやすいからです。
例えば、√45 + √20という計算を考えてみましょう。
√45 + √20 = 3√5 + 2√5 = 5√5このように、簡単な形にしておくと計算がスムーズに進みます。
45の平方根の覚え方・語呂合わせは？【記憶術】
続いては、√45の値を覚えやすくするための語呂合わせを確認していきます。
√45 ≈ 6.708という値を覚えるには、語呂合わせを活用するのが効果的でしょう。
√45 ≈ 6.708語呂合わせ:「ろくな(67)オヤジ(08)」
または「無(6)難(7)にお話(08)」
ただし、実際の試験では√45そのものの数値を暗記するよりも、√45 = 3√5という変形を覚えておく方が重要です。
そのため、√5の値を覚えることに重点を置く方が実用的でしょう。
| 平方根 | 近似値 | 語呂合わせ |
|---|---|---|
| √2 | 1.414 | 一夜一夜に人見頃 |
| √3 | 1.732 | 人並みに奢れや |
| √5 | 2.236 | 富士山麓オウム鳴く |
特に√5は「富士山麓(2236)オウム鳴く」という有名な語呂合わせがあります。この値さえ覚えておけば、3倍することで√45の値も簡単に求められるのです。
このように、基本となる平方根の値を覚えておくことで、様々な計算に応用できるでしょう。
45の平方根を使った計算例【応用問題】
続いては、√45を使った実践的な計算例を確認していきます。
平方根の計算では、加減乗除すべてに独特のルールがあります。具体例を見ながら理解を深めていきましょう。
足し算・引き算の例
√45 = 3√5
√20 = 2√5
したがって、
√45 + √20 = 3√5 + 2√5 = 5√5
このように、同じ根号を持つ項同士は係数を足し合わせることができます。
√45 = 3√5
したがって、
√45 – √5 = 3√5 – √5 = 2√5
掛け算の例
√45 × √5 = √(45 × 5) = √225 = 15または、
√45 × √5 = 3√5 × √5 = 3 × 5 = 15
平方根の掛け算は、根号の中同士を掛けるか、簡単な形にしてから計算するかの2通りの方法があるのです。
割り算の例
√45 ÷ √5 = √(45 ÷ 5) = √9 = 3または、
√45 ÷ √5 = 3√5 ÷ √5 = 3
これらの計算パターンを理解しておけば、様々な問題に対応できるでしょう。
45の平方根に関連する重要事項【数学的性質】
続いては、√45に関連する数学的な性質について確認していきます。
負の平方根について
45の平方根には、実は正と負の2つがあります。
(-3√5)² = 45したがって、45の平方根は ±3√5 です。
ただし、√45という記号は正の平方根のみを表すのが約束事。負の平方根を表したい場合は-√45と書きます。
2乗の確認
本当に√45 = 3√5が正しいのか、2乗して確認してみましょう。
(3√5)² = 3² × (√5)² = 9 × 5 = 45 ✓確かに45になりますね。
有理化への応用
分母に√45がある場合、有理化が必要になることがあります。
1/√45 = 1/(3√5) = 1/(3√5) × √5/√5 = √5/(3×5) = √5/15
このように、√45を3√5に変形しておくと、有理化の計算がスムーズに進むのです。
| 計算の種類 | ポイント |
|---|---|
| 簡単化 | √45 = 3√5に変形 |
| 加減算 | 同じ根号を持つ項の係数を足し引き |
| 乗除算 | 根号の中同士を計算 |
| 有理化 | 分母と分子に同じ根号を掛ける |
まとめ 45の平方根を使いこなそう
ここまで、45の平方根について様々な角度から解説してきました。
√45 = 3√5 ≈ 6.708この3つの表現を理解し、使い分けられることが大切です。
試験では正確な値として3√5の形で答えることが多いでしょう。一方、実生活での概算には6.7や6.71という近似値が便利です。
平方根の計算は、最初は難しく感じるかもしれません。しかし、因数分解のルールと基本的な平方根の値(√2、√3、√5など)を覚えておけば、様々な問題に対応できるようになります。
繰り返し練習することで、自然と計算のコツが身についていくはず。今回学んだ内容を基礎として、さらに発展的な数学の学習に進んでいってください。数学の世界は奥深く、学べば学ぶほど新しい発見があるでしょう。
