ベクトルの大きさを成分なしで求める方法は？計算手順を解説（ノルム：内積：ピタゴラスの定理：絶対値：長さの公式など）

ベクトルの大きさの成分公式

2次元：a = (a₁, a₂) のとき |a| = √(a₁² + a₂²)

3次元：a = (a₁, a₂, a₃) のとき |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

n次元：a = (a₁, a₂, …, aₙ) のとき |a| = √(a₁² + a₂² + … + aₙ²)

これはピタゴラスの定理の多次元拡張そのもの。

内積によるベクトルの大きさの表現

|a|² = a・a（自分自身との内積）

|a| = √(a・a)

内積の定義：a・b = a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ（成分表示）

または a・b = |a||b|cosθ（角度表示）

→ a・a = |a||a|cos0° = |a|² ✓（自分自身とのなす角は0°）

和・差ベクトルの大きさの公式（最重要）

|a + b|² = (a + b)・(a + b)

= a・a + 2a・b + b・b

= |a|² + 2(a・b) + |b|²

|a − b|² = (a − b)・(a − b)

= a・a − 2a・b + b・b

= |a|² − 2(a・b) + |b|²

【具体例】|a| = 3、|b| = 4、a・b = 6 のとき

|a + b|² = 9 + 12 + 16 = 37 → |a + b| = √37

|a − b|² = 9 − 12 + 16 = 13 → |a − b| = √13

なす角から内積を経由した計算例

|a| = 2、|b| = 3、aとbのなす角θ = 60° のとき |a + b| を求める。

a・b = |a||b|cosθ = 2 × 3 × cos60° = 6 × (1/2) = 3

|a + b|² = |a|² + 2(a・b) + |b|²

= 4 + 6 + 9 = 19

|a + b| = √19

直交ベクトルの場合の和・差の大きさ

a ⊥ b（aとbが直交）⟺ a・b = 0 のとき：

|a + b|² = |a|² + |b|²（ピタゴラスの定理）

|a − b|² = |a|² + |b|²（引き算も同じ）

→ |a + b| = |a − b| = √(|a|² + |b|²)

直交する場合、和ベクトルと差ベクトルの大きさは等しい（方向だけ違う）。

これはまさに直角三角形の斜辺の長さ = √(縦² + 横²) という関係。

コーシー・シュワルツの不等式

任意のベクトルa, bに対して：

|a・b| ≤ |a||b|

等号成立条件：aとbが平行（一方が他方のスカラー倍）のとき

証明のアイデア：

任意の実数tに対して |a + tb|² ≥ 0 を展開すると

|b|²t² + 2(a・b)t + |a|² ≥ 0（tの二次不等式）

この二次式の判別式 D = 4(a・b)² − 4|a|²|b|² ≤ 0 より

(a・b)² ≤ |a|²|b|² すなわち |a・b| ≤ |a||b|

応用：cosθ = a・b / (|a||b|) において |cosθ| ≤ 1 が保証される（角度の定義が矛盾しない）

三角不等式

任意のベクトルa, bに対して：

|a + b| ≤ |a| + |b|

等号成立条件：aとbが同じ向きの場合（b = αa、α ≥ 0）

幾何学的意味：三角形の2辺の長さの和は残りの1辺の長さ以上（三角形の成立条件）

証明：|a + b|² = |a|² + 2a・b + |b|² ≤ |a|² + 2|a||b| + |b|² = (|a| + |b|)²

（コーシー・シュワルツの不等式 a・b ≤ |a||b| を使った）

平行四辺形の恒等式（中線定理）

|a + b|² + |a − b|² = 2(|a|² + |b|²)

証明：左辺 = (|a|² + 2a・b + |b|²) + (|a|² − 2a・b + |b|²) = 2|a|² + 2|b|²

幾何学的意味：平行四辺形の2本の対角線の長さの2乗の和は、4辺の長さの2乗の和に等しい。

内積空間の特徴：この恒等式が成立することが「内積から導かれたノルム」の特徴的性質。

パターン1の解法

|αa + βb|² = (αa + βb)・(αa + βb)

= α²(a・a) + 2αβ(a・b) + β²(b・b)

= α²|a|² + 2αβ(a・b) + β²|b|²

= α²m² + 2αβk + β²n²

あとは平方根をとれば |αa + βb| が求まる。

例：|a| = 2、|b| = 3、a・b = −1 のとき |2a − b| を求める。

|2a − b|² = 4|a|² − 4(a・b) + |b|² = 4×4 − 4×(−1) + 9 = 16 + 4 + 9 = 29

|2a − b| = √29

単位ベクトルの和・差の大きさ

|a| = |b| = 1（単位ベクトル）、なす角θ のとき：

|a + b|² = 1 + 2cosθ + 1 = 2 + 2cosθ = 2(1 + cosθ) = 4cos²(θ/2)

|a + b| = 2|cos(θ/2)|

|a − b|² = 1 − 2cosθ + 1 = 2(1 − cosθ) = 4sin²(θ/2)

|a − b| = 2|sin(θ/2)|

（半角の公式 1 + cosθ = 2cos²(θ/2)、1 − cosθ = 2sin²(θ/2) を使用）

例：θ = 60° のとき |a + b| = 2cos30° = √3、|a − b| = 2sin30° = 1