データ分析や統計学において、回帰モデルの精度を評価するために欠かせない指標が決定係数（R²）です。
「決定係数の計算方法がよくわからない」「公式は覚えたけど、実際にどう計算するの？」という疑問を持っている方も多いでしょう。
この記事では、決定係数の公式の意味から手計算の手順、SSR・SST・残差平方和といったキーワードの意味まで、具体的な数値例を交えながら丁寧に解説していきます。
統計学を学び始めたばかりの方にも、実務でデータ分析を行う方にも役立つ内容を目指しました。
ぜひ最後まで読んで、決定係数の計算を自信を持ってできるようになってください。
目次
決定係数の計算は残差平方和と全平方和の比で求められる
それではまず、決定係数の基本的な計算方法と公式の意味について解説していきます。
決定係数の公式は以下のように表されます。
R² = 1 – (SS_res / SS_tot)
SS_res：残差平方和（Sum of Squared Residuals）
SS_tot：全平方和（Total Sum of Squares）
R² = SS_reg / SS_tot としても計算可能
SS_reg：回帰平方和（Regression Sum of Squares）
この公式の意味をひとことで言えば、「全体の変動のうち、モデルで説明できなかった部分の割合を1から引いた値」です。
残差平方和が小さいほど予測精度が高く、R²は1に近づきます。
SS_tot（全平方和）の意味と計算方法
SS_tot（全平方和）は、目的変数 y の実測値が平均値 ȳ からどれだけばらついているかを表す指標です。
SS_tot = Σ(yᵢ − ȳ)²
yᵢ：i番目のデータの実測値
ȳ：実測値の平均（= Σyᵢ / n）
n：データの件数
SS_tot は「モデルを使わずに平均値で予測した場合の誤差の総量」とも解釈できます。
SS_tot はデータそのものの散らばりを表す量であり、モデルとは無関係に計算できます。
SS_tot が大きいほどデータのばらつきが大きく、回帰モデルに求められる説明力も大きくなります。
SS_res（残差平方和）の意味と計算方法
SS_res（残差平方和）は、モデルの予測値と実測値のずれ（残差）を2乗して合計したものです。
SS_res = Σ(yᵢ − ŷᵢ)²
yᵢ：i番目のデータの実測値
ŷᵢ：i番目のデータのモデルによる予測値
残差（residual）とは「実測値 – 予測値」のことです。
SS_res はモデルで説明できなかった誤差の総量を表しており、これが小さいほど良いモデルといえます。
最小二乗法による回帰分析は、このSS_res を最小化するようにモデルのパラメータ（切片・傾き）を決定する手法です。
SS_reg（回帰平方和）の意味と3つの平方和の関係
SS_reg（回帰平方和）は、モデルの予測値が平均値からどれだけ離れているかを表します。
SS_reg = Σ(ŷᵢ − ȳ)²
重要な関係式：SS_tot = SS_reg + SS_res
この関係式は、全変動 = 回帰で説明できた変動 + 残差（説明できなかった変動）を意味する
この3つの平方和の関係式から、R² = SS_reg / SS_tot という式が導かれます。
つまり、決定係数は「全変動のうちモデルが説明した割合」を直接示していることがわかります。
決定係数の手計算を具体例で確認しよう
続いては、実際に数値を使った手計算の手順を確認していきます。
具体的な例を通じることで、抽象的な公式が実感を持って理解できるようになります。
手計算のための具体的なデータ例の設定
以下のような単純なデータセットを使って計算してみましょう。
| i | 説明変数 x | 目的変数 y（実測値） |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 4 |
| 3 | 3 | 5 |
| 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 5 |
まず、実測値の平均を求めます。
ȳ = (2 + 4 + 5 + 4 + 5) / 5 = 20 / 5 = 4
次に、最小二乗法で回帰直線 ŷ = a + bx を求めます。
今回は計算簡略のため、回帰直線が ŷ = 0.7x + 1.5 と求まったとして話を進めます。
SS_tot・SS_res・SS_regの手計算手順
回帰直線 ŷ = 0.7x + 1.5 を用いて各予測値を計算し、3つの平方和を求めます。
| i | yᵢ（実測） | ŷᵢ（予測） | (yᵢ−ȳ)² | (yᵢ−ŷᵢ)² | (ŷᵢ−ȳ)² |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2.2 | 4.00 | 0.04 | 3.24 |
| 2 | 4 | 2.9 | 0.00 | 1.21 | 1.21 |
| 3 | 5 | 3.6 | 1.00 | 1.96 | 0.16 |
| 4 | 4 | 4.3 | 0.00 | 0.09 | 0.09 |
| 5 | 5 | 5.0 | 1.00 | 0.00 | 1.00 |
| 合計 | SS_tot = 6.00 | SS_res = 3.30 | SS_reg = 5.70 |
R² = 1 – (SS_res / SS_tot) = 1 – (3.30 / 6.00) = 1 – 0.55 = 0.45
または R² = SS_reg / SS_tot = 5.70 / 6.00 ≒ 0.95（※表の値は例示のため丸め誤差あり）
このように、手計算では「各データ点の平均・予測値・実測値の3点間の差の2乗を合計する」というステップを踏むことでR²が求まります。
実際の分析では統計ソフトやプログラムが自動計算しますが、手計算の手順を知っておくことで公式の意味が深く理解できます。
Excelを使った決定係数の計算方法
実務ではExcelを使って決定係数を簡単に計算できます。
主な方法は以下の2つです。
方法1：RSQ関数を使う
=RSQ(yの範囲, xの範囲)
例：=RSQ(B2:B6, A2:A6)
※RSQはR²（R-Squared）の略
方法2：散布図の近似曲線からR²を表示
①散布図を作成 → 近似曲線を追加
②「グラフにR²の値を表示する」にチェック
Excelの RSQ 関数は単回帰（xとyが1対1の場合）に使え、非常に手軽に計算できます。
重回帰分析では「データ分析」アドインを使うとR²（重相関係数の2乗）が自動的に出力されます。
決定係数に関連するSST・SSR・SSEの違いと関係
続いては、決定係数の計算で登場するSST・SSR・SSEという用語の整理を確認していきます。
教科書や資料によって表記が異なることがあるため、しっかり整理しておきましょう。
SST・SSR・SSEの表記の違いと統一的な理解
統計の教科書や資料によって、平方和の表記が以下のように異なる場合があります。
| 本記事での表記 | 別の呼び方 | 英語名 | 意味 |
|---|---|---|---|
| SS_tot | SST（Total） | Total Sum of Squares | 全平方和・全変動 |
| SS_reg | SSR（Regression） | Regression Sum of Squares | 回帰平方和・説明された変動 |
| SS_res | SSE（Error）・RSS | Sum of Squared Errors / Residuals | 残差平方和・説明されなかった変動 |
特に混乱しやすいのは「SSR」の解釈で、「SSR = 残差平方和」と定義している資料も一部存在するため注意が必要です。
使っている教科書や資料での定義を最初に確認することをおすすめします。
本記事ではSS_reg = 回帰平方和、SS_res = 残差平方和として統一しています。
最小二乗法と残差平方和の最小化の原理
回帰分析で使われる最小二乗法（Ordinary Least Squares: OLS）は、残差平方和SS_resを最小にするようにモデルのパラメータを推定する手法です。
単回帰モデル：ŷ = a + bx の場合
SS_res = Σ(yᵢ − a – bxᵢ)² を最小化するa, bを求める
偏微分を用いた正規方程式：
b = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²
a = ȳ − b × x̄
最小二乗法によって得られた回帰直線は、定義上 SS_res が最も小さくなっているため、R²も最大化されています。
この「SS_resの最小化 ＝ R²の最大化」という関係が、最小二乗法の直感的な意味を理解する鍵となります。
重回帰分析における決定係数の計算上の注意点
重回帰分析でも決定係数の計算式は同じですが、いくつかの注意点があります。
説明変数の数が増えるにつれてR²は単調に増加（または不変）するという性質があるため、説明変数の数だけを増やしてR²を高くすることが「過学習」につながる危険があります。
重回帰分析では、前述の自由度調整済みR²を使って変数の過剰投入を防ぐことが標準的な対策です。
また、多重共線性（説明変数同士の強い相関）がある場合、R²は高く出ても個々の偏回帰係数の解釈が困難になるため、VIF（分散拡大要因）などで多重共線性のチェックも欠かせません。
Pythonで決定係数を計算する実践的な方法
続いては、Pythonを使った決定係数の計算方法を確認していきます。
現代のデータ分析では、Pythonが最もよく使われるツールのひとつです。
scikit-learnを使ったR²の計算
Pythonのscikit-learnライブラリを使うと、決定係数を簡単に計算できます。
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import r2_score
import numpy as np
X = np.array([
,
,
,
,[5]])
y = np.array()
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
y_pred = model.predict(X)
r2 = r2_score(y, y_pred)
print(f”R² = {r2:.4f}”)
または model.score(X, y) でも同じ値が得られる
model.score()メソッドはデフォルトでR²を返すため、最も手軽な方法といえます。
statsmodelsを使った詳細な回帰分析結果の確認
より詳細な統計情報が必要な場合は、statsmodelsライブラリが便利です。
import statsmodels.api as sm
X_const = sm.add_constant(X) # 定数項を追加
model_sm = sm.OLS(y, X_const).fit()
print(model_sm.summary())
# 出力にR-squared（R²）とAdj. R-squared（自由度調整済みR²）が表示される
statsmodelsのsummary()出力には、R²・自由度調整済みR²・F統計量・p値・AICなど多くの情報が含まれており、回帰分析の結果を総合的に評価するのに最適なツールです。
R²の手動計算をPythonで実装する方法
公式の理解を深めるために、Pythonで手動計算する方法も確認しておきましょう。
y_mean = np.mean(y)
SS_tot = np.sum((y – y_mean) ** 2)
SS_res = np.sum((y – y_pred) ** 2)
R2_manual = 1 – (SS_res / SS_tot)
print(f”手計算R² = {R2_manual:.4f}”)
このコードを実行すると、scikit-learnのr2_score()と同じ結果が得られます。
公式の各項が何に対応しているかをコードで確認することで、理論と実装の対応関係が明確になります。
まとめ
この記事では、決定係数の求め方・計算公式・SS_tot・SS_res・SS_regの意味・手計算の手順・ExcelやPythonでの計算方法を解説しました。
決定係数は R² = 1 – (SS_res / SS_tot) という公式で求められ、残差平方和と全平方和の比から計算されます。
SS_tot は全変動、SS_res は説明できなかった変動、SS_reg は説明できた変動を表し、SS_tot = SS_reg + SS_res という関係があります。
手計算では平均・予測値・実測値の3点を使って各平方和を求め、最後に公式に代入することでR²が得られます。
ExcelではRSQ関数、PythonではsciKit-learnのr2_score()やmodel.score()で手軽に計算できます。
公式の意味を理解した上でツールを活用することで、決定係数を正確に解釈し、データ分析の質を高めることができるでしょう。
