地図・測量・3Dグラフィックス・天文学など、位置を表す必要がある分野では、必ず「座標系」という考え方が登場します。
しかし「座標系」と一言で言っても、その種類は非常に多く、目的によって使われる座標系も異なります。
本記事では、座標系の種類と英語での意味について、球座標系・地理座標系・球面座標系・3次元直交座標系・日本座標系といったキーワードを交えながら、わかりやすく丁寧に解説していきます。
測量・地図・GIS・プログラミングなどに関わる方、座標系の基礎を整理したい方にとって、必ず役立つ内容です。
ぜひ最後まで読み進めてください。
目次
座標系とは何か？結論からわかりやすく解説
それではまず、座標系という言葉の基本的な意味について解説していきます。
座標系とは、空間内の位置を、数値の組み合わせ（座標）によって一意に表すための基準となる仕組みのことです。
「どこを原点（基準点）とするか」「どの方向を軸とするか」「どのような単位で測るか」といった決まりごとを定めることで、座標系が成り立っています。
座標系の本質は「位置を伝えるための共通言語」であるという点です。たとえば「東京駅から北に3km、東に2km」という説明も一種の座標表現ですが、これだけでは他の人と正確に共有することは難しいでしょう。座標系を定めることで、誰が見ても同じ位置を一意に特定できるようになるのです。
座標系は、数学・物理学・地理学・測量学・コンピューターグラフィックスなど、非常に幅広い分野で使われている基礎的な概念です。
分野によって扱う対象や目的が異なるため、それぞれに適した座標系が考案され、使い分けられています。
座標系の基本的な定義
座標系を構成する基本的な要素を整理してみましょう。
【座標系を構成する基本要素】
原点 すべての位置を測る基準となる点
軸 位置を表すための方向（複数本設定されることが多い）
単位 距離や角度をどのような単位で測るか
これらの要素が決まることで、ある点の位置を「原点からどの方向に、どれだけ離れているか」という形で、数値の組として一意に表現できるようになります。
座標系の種類によって、軸の数・軸の取り方・単位の種類が異なるため、それぞれの特徴を理解することが重要です。
座標系が必要な理由
なぜ私たちは座標系という仕組みを必要とするのでしょうか。
位置情報を数値として扱えるようにすることで、距離の計算・方向の計算・図形の変形といった、様々な数学的な処理が可能になるという点が、最大の理由のひとつです。
地図上の2点間の距離を計算する、3DグラフィックスでオブジェクトをCG空間に配置する、GPSで現在地を特定するなど、これらすべての処理は、座標系という共通の枠組みがあることで初めて成立しています。
座標系の英語表現
座標系は英語で「coordinate system（コーディネートシステム）」と表記されます。
| 日本語 | 英語表現 |
|---|---|
| 座標系 | coordinate system |
| 直交座標系 | Cartesian coordinate system / rectangular coordinate system |
| 極座標系 | polar coordinate system |
| 球座標系 | spherical coordinate system |
| 地理座標系 | geographic coordinate system |
「Cartesian（カーテシアン）」という単語は、座標の概念を発展させたフランスの哲学者・数学者ルネ・デカルトの名前に由来しています。
これらの英語表現を知っておくことで、海外の技術文献・ソフトウェアのドキュメントなどを読む際にも役立つでしょう。
直交座標系とその種類
続いては、最も基本的な座標系である「直交座標系」について確認していきます。
直交座標系は、私たちが日常的に最もよく目にする座標系のひとつです。
2次元直交座標系（xy座標）
2次元直交座標系とは、互いに直角に交わる2本の軸（x軸とy軸）によって、平面上の位置を表す座標系のことです。
原点を0として、横方向の位置をx座標、縦方向の位置をy座標として表現することで、平面上のあらゆる点を「（x, y）」という数値の組で表すことができます。
グラフ・図形・地図など、平面上に何かを表現する際の最も基本的な仕組みとして広く使われています。
3次元直交座標系（xyz座標）
3次元直交座標系とは、2次元のxy座標に、さらに高さ・深さの方向を表すz軸を加えた、3本の軸からなる座標系のことです。
x軸・y軸・z軸は、それぞれが互いに直角に交わるように配置されており、空間内の任意の点を「（x, y, z）」という3つの数値の組で表すことができます。
【3次元直交座標系の特徴】
x軸 左右方向を表すことが多い
y軸 前後または上下方向を表すことが多い
z軸 残りの方向（高さなど）を表すことが多い
軸の向きの定義は分野・ソフトウェアによって異なることがある
3次元直交座標系は、立体図形の表現・物理シミュレーション・3Dゲーム・建築設計など、空間的な情報を扱うあらゆる分野で活用されています。
直交座標系の応用例
直交座標系が実際にどのような分野で応用されているのかを見てみましょう。
| 分野 | 直交座標系の応用例 |
|---|---|
| 数学・統計 | 関数のグラフ表示、データの散布図 |
| コンピューターグラフィックス | 画面上のピクセル位置、3Dモデルの頂点座標 |
| 測量・地図 | 平面直角座標系による位置表示 |
| 工学・製造 | CADにおける図面の寸法表示 |
このように、直交座標系は「位置を数値で表す」という最も基本的なニーズに対応するものとして、非常に広範囲に利用されている座標系です。
球座標系・球面座標系
続いては、球体や球面に関連する位置を表すために使われる「球座標系」「球面座標系」について確認していきます。
これらは直交座標系とは異なる発想で、位置を表現する座標系です。
球座標系の定義
球座標系とは、3次元空間内の点の位置を、原点からの距離（半径）と、2つの角度によって表す座標系のことです。
英語では「spherical coordinate system」と呼ばれ、physics（物理学）の分野で頻繁に使われています。
【球座標系を構成する3つの値】
半径（r） 原点から点までの距離
極角（θ） 基準軸からの角度（緯度に相当する角度）
方位角（φ） もう一方の基準からの角度（経度に相当する角度）
この3つの値（r、θ、φ）の組み合わせによって、3次元空間内の任意の点を表現することができます。
球座標系は、原点を中心とした球状・放射状の対称性を持つ問題を扱う際に、直交座標系よりもはるかに扱いやすくなるという利点があります。
球面座標系との違い
「球座標系」と「球面座標系」という言葉は、似ているようで微妙に異なる意味で使われることがあります。
| 用語 | 主な意味 |
|---|---|
| 球座標系 | 3次元空間内の任意の点を半径と2つの角度で表す座標系 |
| 球面座標系 | 球の表面（2次元的な曲面）上の位置を2つの角度で表す座標系 |
つまり、球座標系は「半径」を含む3次元的な表現であるのに対し、球面座標系は半径が一定（球の表面のみ）であることを前提とした、より限定的な表現であるという違いがあります。
地球の表面上の位置を緯度・経度で表す「地理座標系」は、この球面座標系の考え方を地球という球体に適用したものと捉えることができるでしょう。
球座標系の応用分野
球座標系・球面座標系は、どのような分野で活用されているのでしょうか。
物理学では、電磁気学・量子力学において、原点を中心とした対称性を持つ問題を扱う際に、球座標系が広く使われています。
天文学では、天球上の星の位置を表すために、球面座標系の考え方が使われています。
地理学・測量学においても、地球を球体（または回転楕円体）として扱う際に、これらの座標系の考え方が基礎となっています。
地理座標系・日本の座標系
続いては、地球上の位置を表すための「地理座標系」と、日本国内で使われている座標系について確認していきます。
これらは、測量・地図・GISなどの分野で実務的に重要な座標系です。
地理座標系の基本
地理座標系とは、地球上の位置を、緯度と経度という2つの角度によって表す座標系のことです。
緯度は、赤道を基準とした南北方向の角度、経度は、本初子午線（イギリスのグリニッジ天文台を通る線）を基準とした東西方向の角度で表されます。
地球は完全な球体ではなく、わずかに扁平な回転楕円体に近い形をしているため、どのような楕円体・基準点を採用するかによって、わずかに異なる地理座標系が定義されることになります。
日本における座標系（日本測地系・世界測地系）
日本では、かつて「日本測地系」という独自の測地系が使われていましたが、現在は「世界測地系」が標準として採用されています。
【日本における測地系の変遷】
日本測地系 かつて使われていた、日本独自の基準に基づく測地系
世界測地系（JGD2000・JGD2011など） 国際的な基準に基づく、現在標準とされる測地系
世界測地系への移行により国際的な位置情報との整合性が向上した
世界測地系への移行は、GPSなどの国際的な測位システムとの整合性を高めるために行われた、重要な変更でした。
古い地図・データを扱う際には、どちらの測地系に基づいているかによって、同じ地点でも座標値が異なる場合がある点に注意が必要です。
平面直角座標系との関係
日本国内の測量・土木・建築の分野では、緯度経度で表す地理座標系とは別に、「平面直角座標系」と呼ばれる座標系も広く使われています。
平面直角座標系は、地球の表面の一部を平面に投影し、メートル単位のxy座標で位置を表すことができる座標系で、日本全国を19のエリア（系）に分けて定義されています。
緯度経度が角度で位置を表すのに対し、平面直角座標系はメートルという、私たちが日常的に扱いやすい距離の単位で位置を表せるという特徴があります。
このため、測量・土木設計などの実務においては、平面直角座標系が頻繁に利用されています。
この平面直角座標系については、次回以降の記事でさらに詳しく解説していきます。
まとめ
本記事では、座標系の基本的な意味・座標系を構成する要素・座標系の英語表現、直交座標系の種類と応用例、球座標系・球面座標系の定義と違い、地理座標系・日本における座標系まで幅広く解説しました。
座標系とは、空間内の位置を数値によって一意に表すための基準となる仕組みであり、原点・軸・単位といった要素によって定義されます。
直交座標系は2次元・3次元の位置を表す最も基本的な座標系であり、球座標系・球面座標系は原点を中心とした対称性のある問題に適した座標系です。
日本では、地球規模の位置を表す地理座標系（緯度経度）と、実務で使いやすい平面直角座標系が、それぞれの目的に応じて使い分けられています。
座標系の種類とその特徴を理解することは、測量・地図・GIS・プログラミングなど、位置情報を扱うあらゆる分野の基礎となるでしょう。
